Álgebra lineal Ejemplos

$3 x - 2 y + 8 z = 38$ $6 x + 3 y - 9 z = - 12$ $4 x + 4 y + 20 z = 0$

Paso 1

Escribe el sistema como una matriz.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 8 & 38 \\ 6 & 3 & - 9 & - 12 \\ 4 & 4 & 20 & 0 \end{array}]$

Paso 2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 2.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{3}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

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Paso 2.1.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{3}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 6 & 3 & - 9 & - 12 \\ 4 & 4 & 20 & 0 \end{array}]$

Paso 2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 6 & 3 & - 9 & - 12 \\ 4 & 4 & 20 & 0 \end{array}]$

Paso 2.2

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

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Paso 2.2.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 6 - 6 \cdot 1 & 3 - 6 (- \frac{2}{3}) & - 9 - 6 (\frac{8}{3}) & - 12 - 6 (\frac{38}{3}) \\ 4 & 4 & 20 & 0 \end{array}]$

Paso 2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 7 & - 25 & - 88 \\ 4 & 4 & 20 & 0 \end{array}]$

Paso 2.3

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

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Paso 2.3.1

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 7 & - 25 & - 88 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 4 - 4 (- \frac{2}{3}) & 20 - 4 (\frac{8}{3}) & 0 - 4 (\frac{38}{3}) \end{array}]$

Paso 2.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 7 & - 25 & - 88 \\ 0 & \frac{20}{3} & \frac{28}{3} & - \frac{152}{3} \end{array}]$

Paso 2.4

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{7}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{7}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ \frac{0}{7} & \frac{7}{7} & \frac{- 25}{7} & \frac{- 88}{7} \\ 0 & \frac{20}{3} & \frac{28}{3} & - \frac{152}{3} \end{array}]$

Paso 2.4.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{25}{7} & - \frac{88}{7} \\ 0 & \frac{20}{3} & \frac{28}{3} & - \frac{152}{3} \end{array}]$

Paso 2.5

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - \frac{20}{3} R_{2}$ para hacer que la entrada en $3, 2$ sea $0$ .

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Paso 2.5.1

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - \frac{20}{3} R_{2}$ para hacer que la entrada en $3, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{25}{7} & - \frac{88}{7} \\ 0 - \frac{20}{3} \cdot 0 & \frac{20}{3} - \frac{20}{3} \cdot 1 & \frac{28}{3} - \frac{20}{3} (- \frac{25}{7}) & - \frac{152}{3} - \frac{20}{3} (- \frac{88}{7}) \end{array}]$

Paso 2.5.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{25}{7} & - \frac{88}{7} \\ 0 & 0 & \frac{232}{7} & \frac{232}{7} \end{array}]$

Paso 2.6

Multiplica cada elemento de $R_{3}$ por $\frac{7}{232}$ para hacer que la entrada en $3, 3$ sea $1$ .

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Paso 2.6.1

Multiplica cada elemento de $R_{3}$ por $\frac{7}{232}$ para hacer que la entrada en $3, 3$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{25}{7} & - \frac{88}{7} \\ \frac{7}{232} \cdot 0 & \frac{7}{232} \cdot 0 & \frac{7}{232} \cdot \frac{232}{7} & \frac{7}{232} \cdot \frac{232}{7} \end{array}]$

Paso 2.6.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{25}{7} & - \frac{88}{7} \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 2.7

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} + \frac{25}{7} R_{3}$ para hacer que la entrada en $2, 3$ sea $0$ .

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Paso 2.7.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} + \frac{25}{7} R_{3}$ para hacer que la entrada en $2, 3$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 + \frac{25}{7} \cdot 0 & 1 + \frac{25}{7} \cdot 0 & - \frac{25}{7} + \frac{25}{7} \cdot 1 & - \frac{88}{7} + \frac{25}{7} \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 2.7.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - 9 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 2.8

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - \frac{8}{3} R_{3}$ para hacer que la entrada en $1, 3$ sea $0$ .

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Paso 2.8.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - \frac{8}{3} R_{3}$ para hacer que la entrada en $1, 3$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{8}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} - \frac{8}{3} \cdot 0 & \frac{8}{3} - \frac{8}{3} \cdot 1 & \frac{38}{3} - \frac{8}{3} \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 9 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 2.8.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & 0 & 10 \\ 0 & 1 & 0 & - 9 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 2.9

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

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Paso 2.9.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & 10 + \frac{2}{3} \cdot - 9 \\ 0 & 1 & 0 & - 9 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 2.9.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & - 9 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.

$x = 4$

$y = - 9$

$z = 1$

Paso 4

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(4, - 9, 1)$