Álgebra lineal Ejemplos

$3 x - 5 y + z = 14$ $2 x + 3 y - 4 z = 20$ $5 x - y + 2 z = 7$

Paso 1

Escribe el sistema como una matriz.

$[\begin{array}{c} 3 & - 5 & 1 & 14 \\ 2 & 3 & - 4 & 20 \\ 5 & - 1 & 2 & 7 \end{array}]$

Paso 2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 2.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{3}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

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Paso 2.1.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{3}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 2 & 3 & - 4 & 20 \\ 5 & - 1 & 2 & 7 \end{array}]$

Paso 2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 2 & 3 & - 4 & 20 \\ 5 & - 1 & 2 & 7 \end{array}]$

Paso 2.2

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

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Paso 2.2.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 2 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 (- \frac{5}{3}) & - 4 - 2 (\frac{1}{3}) & 20 - 2 (\frac{14}{3}) \\ 5 & - 1 & 2 & 7 \end{array}]$

Paso 2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & \frac{19}{3} & - \frac{14}{3} & \frac{32}{3} \\ 5 & - 1 & 2 & 7 \end{array}]$

Paso 2.3

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

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Paso 2.3.1

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & \frac{19}{3} & - \frac{14}{3} & \frac{32}{3} \\ 5 - 5 \cdot 1 & - 1 - 5 (- \frac{5}{3}) & 2 - 5 (\frac{1}{3}) & 7 - 5 (\frac{14}{3}) \end{array}]$

Paso 2.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & \frac{19}{3} & - \frac{14}{3} & \frac{32}{3} \\ 0 & \frac{22}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{49}{3} \end{array}]$

Paso 2.4

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{3}{19}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{3}{19}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ \frac{3}{19} \cdot 0 & \frac{3}{19} \cdot \frac{19}{3} & \frac{3}{19} (- \frac{14}{3}) & \frac{3}{19} \cdot \frac{32}{3} \\ 0 & \frac{22}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{49}{3} \end{array}]$

Paso 2.4.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{14}{19} & \frac{32}{19} \\ 0 & \frac{22}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{49}{3} \end{array}]$

Paso 2.5

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - \frac{22}{3} R_{2}$ para hacer que la entrada en $3, 2$ sea $0$ .

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Paso 2.5.1

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - \frac{22}{3} R_{2}$ para hacer que la entrada en $3, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{14}{19} & \frac{32}{19} \\ 0 - \frac{22}{3} \cdot 0 & \frac{22}{3} - \frac{22}{3} \cdot 1 & \frac{1}{3} - \frac{22}{3} (- \frac{14}{19}) & - \frac{49}{3} - \frac{22}{3} \cdot \frac{32}{19} \end{array}]$

Paso 2.5.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{14}{19} & \frac{32}{19} \\ 0 & 0 & \frac{109}{19} & - \frac{545}{19} \end{array}]$

Paso 2.6

Multiplica cada elemento de $R_{3}$ por $\frac{19}{109}$ para hacer que la entrada en $3, 3$ sea $1$ .

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Paso 2.6.1

Multiplica cada elemento de $R_{3}$ por $\frac{19}{109}$ para hacer que la entrada en $3, 3$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{14}{19} & \frac{32}{19} \\ \frac{19}{109} \cdot 0 & \frac{19}{109} \cdot 0 & \frac{19}{109} \cdot \frac{109}{19} & \frac{19}{109} (- \frac{545}{19}) \end{array}]$

Paso 2.6.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{14}{19} & \frac{32}{19} \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Paso 2.7

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} + \frac{14}{19} R_{3}$ para hacer que la entrada en $2, 3$ sea $0$ .

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Paso 2.7.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} + \frac{14}{19} R_{3}$ para hacer que la entrada en $2, 3$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 + \frac{14}{19} \cdot 0 & 1 + \frac{14}{19} \cdot 0 & - \frac{14}{19} + \frac{14}{19} \cdot 1 & \frac{32}{19} + \frac{14}{19} \cdot - 5 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Paso 2.7.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Paso 2.8

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{3}$ para hacer que la entrada en $1, 3$ sea $0$ .

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Paso 2.8.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{3}$ para hacer que la entrada en $1, 3$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{5}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & \frac{14}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 5 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Paso 2.8.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & 0 & \frac{19}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Paso 2.9

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{3} R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

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Paso 2.9.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{3} R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{3} \cdot 0 & - \frac{5}{3} + \frac{5}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{5}{3} \cdot 0 & \frac{19}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Paso 2.9.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Paso 3

Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.

$x = 3$

$y = - 2$

$z = - 5$

Paso 4

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(3, - 2, - 5)$