Álgebra lineal Ejemplos

- 4 - 4 i

$- 4 - 4 i$

Paso 1

Calcula la distancia desde

(a, b)

$(a, b)$ hasta el origen mediante la fórmula

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

r = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Paso 2

Simplifica

\sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}

$\sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$ .

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Paso 2.1

Eleva

- 4

$- 4$ a la potencia de

2

$2$ .

r = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2}}

$r = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2}}$

Paso 2.2

Eleva

- 4

$- 4$ a la potencia de

2

$2$ .

r = \sqrt{16 + 16}

$r = \sqrt{16 + 16}$

Paso 2.3

Suma

16

$16$ y

16

$16$ .

r = \sqrt{32}

$r = \sqrt{32}$

Paso 2.4

Reescribe

32

$32$ como

4^{2} \cdot 2

$4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza

16

$16$ de

32

$32$ .

r = \sqrt{16 (2)}

$r = \sqrt{16 (2)}$

Paso 2.4.2

Reescribe

16

$16$ como

4^{2}

$4^{2}$ .

r = \sqrt{4^{2} \cdot 2}

$r = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

r = \sqrt{4^{2} \cdot 2}

$r = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Paso 2.5

Retira los términos de abajo del radical.

r = 4 \sqrt{2}

$r = 4 \sqrt{2}$

r = 4 \sqrt{2}

$r = 4 \sqrt{2}$

Paso 3

Calcula el ángulo de referencia

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{b}{a} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{- 4}{- 4} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{- 4}{- 4} |)$

Paso 4

Simplifica

arctan (∣ ∣ ∣ \frac{- 4}{- 4} ∣ ∣ ∣)

$\arctan (| \frac{- 4}{- 4} |)$ .

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Paso 4.1

Divide

- 4

$- 4$ por

- 4

$- 4$ .

θˆ = arctan (| 1 |)

$θ̂ = \arctan (| 1 |)$

Paso 4.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre

0

$0$ y

1

$1$ es

1

$1$ .

θˆ = arctan (1)

$θ̂ = \arctan (1)$

Paso 4.3

El valor exacto de

arctan (1)

$\arctan (1)$ es

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

θˆ = \frac{π}{4}

$θ̂ = \frac{π}{4}$

θˆ = \frac{π}{4}

$θ̂ = \frac{π}{4}$

Paso 5

El punto se ubica en el tercer cuadrante porque tanto

x

$x$ como

y

$y$ son negativas. Los cuadrantes están etiquetados en sentido contrario a las agujas del reloj, con inicio en la esquina superior derecha.

Cuadrante

3

$3$

Paso 6

(a, b)

$(a, b)$ está en el tercer cuadrante.

θ = π + θˆ

$θ = π + θ̂$

θ = π + \frac{π}{4}

$θ = π + \frac{π}{4}$

Paso 7

Simplifica

θ

$θ$ .

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Paso 7.1

Para escribir

π

$π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}

$π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 7.2

Combina fracciones.

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Paso 7.2.1

Combina

π

$π$ y

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}

$\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 7.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

\frac{π \cdot 4 + π}{4}

$\frac{π \cdot 4 + π}{4}$

\frac{π \cdot 4 + π}{4}

$\frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1

Mueve

4

$4$ a la izquierda de

π

$π$ .

\frac{4 \cdot π + π}{4}

$\frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 7.3.2

Suma

4 π

$4 π$ y

π

$π$ .

\frac{5 π}{4}

$\frac{5 π}{4}$

\frac{5 π}{4}

$\frac{5 π}{4}$

\frac{5 π}{4}

$\frac{5 π}{4}$

Paso 8

Usa la fórmula para obtener las raíces del número complejo.

{(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

k = 0, 1, \dots, n - 1

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Paso 9

Sustituye

r

$r$ ,

n

$n$ y

θ

$θ$ en la fórmula.

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Paso 9.1

Para escribir

π

$π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π k}{3}

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π k}{3}$

Paso 9.2

Combina

π

$π$ y

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π k}{3}

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π k}{3}$

Paso 9.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π k}{3}

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π k}{3}$

Paso 9.4

Suma

π \cdot 4

$π \cdot 4$ y

$π$ .

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Paso 9.4.1

Reordena

$π$ y

$4$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π k}{3}$

Paso 9.4.2

Suma

$4 \cdot π$ y

$π$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k}{3}$

Paso 9.5

Combina

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}$ y

$\frac{\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{3}$

Paso 9.6

Combina

$c$ y

$\frac{{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{3}$

Paso 9.7

Combina

$i$ y

$\frac{c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{3}$

Paso 9.8

Combina

$s$ y

$\frac{i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))))}{3}$

Paso 9.9

Elimina los paréntesis.

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Paso 9.9.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{3}$

Paso 9.9.2

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}) (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{3}$

Paso 9.9.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{3}$

Paso 9.9.4

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}) (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{3}$

Paso 9.9.5

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c) {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{3}$

Paso 9.9.6

Elimina los paréntesis.

$\frac{s i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{3}$

Paso 10

Sustituye

$k = 0$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la regla del producto a

$4 \sqrt{2}$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{3})$

Paso 10.2

Para escribir

$π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{4}{4}$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (0)}{3})$

Paso 10.3

Combina

$π$ y

$\frac{4}{4}$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (0)}{3})$

Paso 10.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π (0)}{3})$

Paso 10.5

Simplifica el numerador.

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Paso 10.5.1

Mueve

$4$ a la izquierda de

$π$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π (0)}{3})$

Paso 10.5.2

Suma

$4 π$ y

$π$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π (0)}{3})$

Paso 10.6

Multiplica

$2 π (0)$ .

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Paso 10.6.1

Multiplica

$0$ por

$2$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 0 π}{3})$

Paso 10.6.2

Multiplica

$0$ por

$π$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 0}{3})$

Paso 10.7

Suma

$\frac{5 π}{4}$ y

$0$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4}}{3})$

Paso 10.8

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 10.9

Multiplica

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 10.9.1

Multiplica

$\frac{5 π}{4}$ por

$\frac{1}{3}$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{5 π}{4 \cdot 3})$

Paso 10.9.2

Multiplica

$4$ por

$3$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{5 π}{12})$

Paso 11

Sustituye

$k = 1$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la regla del producto a

$4 \sqrt{2}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{3})$

Paso 11.2

Para escribir

$π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (1)}{3})$

Paso 11.3

Combina

$π$ y

$\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (1)}{3})$

Paso 11.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π (1)}{3})$

Paso 11.5

Simplifica el numerador.

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Paso 11.5.1

Mueve

$4$ a la izquierda de

$π$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π (1)}{3})$

Paso 11.5.2

Suma

$4 π$ y

$π$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π (1)}{3})$

Paso 11.6

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π}{3})$

Paso 11.7

Para escribir

$2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

Paso 11.8

Combina

$2 π$ y

$\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + \frac{2 π \cdot 4}{4}}{3})$

Paso 11.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π + 2 π \cdot 4}{4}}{3})$

Paso 11.10

Simplifica el numerador.

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Paso 11.10.1

Multiplica

$4$ por

$2$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π + 8 π}{4}}{3})$

Paso 11.10.2

Suma

$5 π$ y

$8 π$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{13 π}{4}}{3})$

Paso 11.11

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{13 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 11.12

Multiplica

$\frac{13 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.12.1

Multiplica

$\frac{13 π}{4}$ por

$\frac{1}{3}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{13 π}{4 \cdot 3})$

Paso 11.12.2

Multiplica

$4$ por

$3$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{13 π}{12})$

Paso 12

Sustituye

$k = 2$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 12.1

Aplica la regla del producto a

$4 \sqrt{2}$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (2)}{3})$

Paso 12.2

Para escribir

$π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (2)}{3})$

Paso 12.3

Combina

$π$ y

$\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (2)}{3})$

Paso 12.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π (2)}{3})$

Paso 12.5

Simplifica el numerador.

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Paso 12.5.1

Mueve

$4$ a la izquierda de

$π$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π (2)}{3})$

Paso 12.5.2

Suma

$4 π$ y

$π$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π (2)}{3})$

Paso 12.6

Multiplica

$2$ por

$2$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 4 π}{3})$

Paso 12.7

Para escribir

$4 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 4 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

Paso 12.8

Combina

$4 π$ y

$\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + \frac{4 π \cdot 4}{4}}{3})$

Paso 12.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π + 4 π \cdot 4}{4}}{3})$

Paso 12.10

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.10.1

Multiplica

$4$ por

$4$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π + 16 π}{4}}{3})$

Paso 12.10.2

Suma

$5 π$ y

$16 π$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{21 π}{4}}{3})$

Paso 12.11

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{21 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 12.12

Cancela el factor común de

$3$ .

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Paso 12.12.1

Factoriza

$3$ de

$21 π$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (7 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 12.12.2

Cancela el factor común.

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (7 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 12.12.3

Reescribe la expresión.

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{7 π}{4})$

Paso 13

Enumera las soluciones.

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{5 π}{12})$

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{13 π}{12})$

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{7 π}{4})$