Álgebra lineal Ejemplos

$- 4 - 4 i$

Paso 1

Calcula la distancia desde $(a, b)$ hasta el origen mediante la fórmula $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Paso 2

Simplifica $\sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$ .

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Paso 2.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2}}$

Paso 2.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{16 + 16}$

Paso 2.3

Suma $16$ y $16$ .

$r = \sqrt{32}$

Paso 2.4

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$r = \sqrt{16 (2)}$

Paso 2.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$r = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Paso 2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$r = 4 \sqrt{2}$

Paso 3

Calcula el ángulo de referencia $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{- 4}{- 4} |)$

Paso 4

Simplifica $\arctan (| \frac{- 4}{- 4} |)$ .

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Paso 4.1

Divide $- 4$ por $- 4$ .

$θ̂ = \arctan (| 1 |)$

Paso 4.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$θ̂ = \arctan (1)$

Paso 4.3

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$θ̂ = \frac{π}{4}$

Paso 5

El punto se ubica en el tercer cuadrante porque tanto $x$ como $y$ son negativas. Los cuadrantes están etiquetados en sentido contrario a las agujas del reloj, con inicio en la esquina superior derecha.

Cuadrante $3$

Paso 6

$(a, b)$ está en el tercer cuadrante. $θ = π + θ̂$

$θ = π + \frac{π}{4}$

Paso 7

Simplifica $θ$ .

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Paso 7.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 7.2

Combina fracciones.

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Paso 7.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 7.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 7.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$\frac{5 π}{4}$

Paso 8

Usa la fórmula para obtener las raíces del número complejo.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Paso 9

Sustituye $r$ , $n$ y $θ$ en la fórmula.

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Paso 9.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π k}{3}$

Paso 9.2

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π k}{3}$

Paso 9.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π k}{3}$

Paso 9.4

Suma $π \cdot 4$ y $π$ .

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Paso 9.4.1

Reordena $π$ y $4$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π k}{3}$

Paso 9.4.2

Suma $4 \cdot π$ y $π$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k}{3}$

Paso 9.5

Combina ${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}$ y $\frac{\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{3}$

Paso 9.6

Combina $c$ y $\frac{{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{3}$

Paso 9.7

Combina $i$ y $\frac{c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{3}$

Paso 9.8

Combina $s$ y $\frac{i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))))}{3}$

Paso 9.9

Elimina los paréntesis.

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Paso 9.9.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{3}$

Paso 9.9.2

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}) (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{3}$

Paso 9.9.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{3}$

Paso 9.9.4

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}) (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{3}$

Paso 9.9.5

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c) {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{3}$

Paso 9.9.6

Elimina los paréntesis.

$\frac{s i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{3}$

Paso 10

Sustituye $k = 0$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la regla del producto a $4 \sqrt{2}$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{3})$

Paso 10.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (0)}{3})$

Paso 10.3

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (0)}{3})$

Paso 10.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π (0)}{3})$

Paso 10.5

Simplifica el numerador.

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Paso 10.5.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π (0)}{3})$

Paso 10.5.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π (0)}{3})$

Paso 10.6

Multiplica $2 π (0)$ .

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Paso 10.6.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 0 π}{3})$

Paso 10.6.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 0}{3})$

Paso 10.7

Suma $\frac{5 π}{4}$ y $0$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4}}{3})$

Paso 10.8

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 10.9

Multiplica $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 10.9.1

Multiplica $\frac{5 π}{4}$ por $\frac{1}{3}$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{5 π}{4 \cdot 3})$

Paso 10.9.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{5 π}{12})$

Paso 11

Sustituye $k = 1$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la regla del producto a $4 \sqrt{2}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{3})$

Paso 11.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (1)}{3})$

Paso 11.3

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (1)}{3})$

Paso 11.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π (1)}{3})$

Paso 11.5

Simplifica el numerador.

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Paso 11.5.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π (1)}{3})$

Paso 11.5.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π (1)}{3})$

Paso 11.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π}{3})$

Paso 11.7

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

Paso 11.8

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + \frac{2 π \cdot 4}{4}}{3})$

Paso 11.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π + 2 π \cdot 4}{4}}{3})$

Paso 11.10

Simplifica el numerador.

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Paso 11.10.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π + 8 π}{4}}{3})$

Paso 11.10.2

Suma $5 π$ y $8 π$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{13 π}{4}}{3})$

Paso 11.11

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{13 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 11.12

Multiplica $\frac{13 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 11.12.1

Multiplica $\frac{13 π}{4}$ por $\frac{1}{3}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{13 π}{4 \cdot 3})$

Paso 11.12.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{13 π}{12})$

Paso 12

Sustituye $k = 2$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 12.1

Aplica la regla del producto a $4 \sqrt{2}$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (2)}{3})$

Paso 12.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (2)}{3})$

Paso 12.3

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (2)}{3})$

Paso 12.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π (2)}{3})$

Paso 12.5

Simplifica el numerador.

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Paso 12.5.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π (2)}{3})$

Paso 12.5.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π (2)}{3})$

Paso 12.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 4 π}{3})$

Paso 12.7

Para escribir $4 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 4 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

Paso 12.8

Combina $4 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + \frac{4 π \cdot 4}{4}}{3})$

Paso 12.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π + 4 π \cdot 4}{4}}{3})$

Paso 12.10

Simplifica el numerador.

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Paso 12.10.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π + 16 π}{4}}{3})$

Paso 12.10.2

Suma $5 π$ y $16 π$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{21 π}{4}}{3})$

Paso 12.11

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{21 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 12.12

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.12.1

Factoriza $3$ de $21 π$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (7 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 12.12.2

Cancela el factor común.

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (7 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 12.12.3

Reescribe la expresión.

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{7 π}{4})$

Paso 13

Enumera las soluciones.

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{5 π}{12})$

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{13 π}{12})$

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{7 π}{4})$