Álgebra lineal Ejemplos

$5 + 2 i$

Paso 1

Calcula la distancia desde

$(a, b)$ hasta el origen mediante la fórmula

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{5^{2} + 2^{2}}$

Paso 2

Simplifica

$\sqrt{5^{2} + 2^{2}}$ .

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Paso 2.1

Eleva

$5$ a la potencia de

$2$ .

$r = \sqrt{25 + 2^{2}}$

Paso 2.2

Eleva

$2$ a la potencia de

$2$ .

$r = \sqrt{25 + 4}$

Paso 2.3

Suma

$25$ y

$4$ .

$r = \sqrt{29}$

Paso 3

Calcula el ángulo de referencia

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{2}{5} |)$

Paso 4

Simplifica

$\arctan (| \frac{2}{5} |)$ .

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Paso 4.1

$\frac{2}{5}$ es aproximadamente

$0.4$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$θ̂ = \arctan (\frac{2}{5})$

Paso 4.2

Evalúa

$\arctan (\frac{2}{5})$ .

$θ̂ = 0.38050637$

Paso 5

El punto se ubica en el primer cuadrante porque tanto

$x$ como

$y$ son positivas. Los cuadrantes están etiquetados en sentido contrario a las agujas del reloj, con inicio en la esquina superior derecha.

Cuadrante

$1$

Paso 6

$(a, b)$ está en el primer cuadrante.

$θ = θ̂$

$θ = 0.38050637$

Paso 7

Usa la fórmula para obtener las raíces del número complejo.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Paso 8

Sustituye

$r$ ,

$n$ y

$θ$ en la fórmula.

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Paso 8.1

Combina

${(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}}$ y

$\frac{(0.38050637) + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)}{2}$

Paso 8.2

Combina

$c$ y

$\frac{{(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))}{2}$

Paso 8.3

Combina

$i$ y

$\frac{c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)))}{2}$

Paso 8.4

Combina

$s$ y

$\frac{i (c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))))}{2}$

Paso 8.5

Elimina los paréntesis.

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Paso 8.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c ({\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))))}{2}$

Paso 8.5.2

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c ({\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k))))}{2}$

Paso 8.5.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k)))}{2}$

Paso 8.5.4

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}}) (0.38050637 + 2 π k))}{2}$

Paso 8.5.5

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k))}{2}$

Paso 8.5.6

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}}) (0.38050637 + 2 π k)}{2}$

Paso 8.5.7

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c) {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k)}{2}$

Paso 8.5.8

Elimina los paréntesis.

$\frac{s i c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k)}{2}$

Paso 9

Sustituye

$k = 0$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 9.1

Elimina los paréntesis.

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(0.38050637) + 2 π (0)}{2})$

Paso 9.2

Multiplica

$2 π (0)$ .

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Paso 9.2.1

Multiplica

$0$ por

$2$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637 + 0 π}{2})$

Paso 9.2.2

Multiplica

$0$ por

$π$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637 + 0}{2})$

Paso 9.3

Suma

$0.38050637$ y

$0$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637}{2})$

Paso 9.4

Divide

$0.38050637$ por

$2$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot 0.19025318$

Paso 9.5

Multiplica

${\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s$ por

$0.19025318$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (0.19025318)$

Paso 10

Sustituye

$k = 1$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 10.1

Elimina los paréntesis.

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(0.38050637) + 2 π (1)}{2})$

Paso 10.2

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637 + 2 π}{2})$

Paso 10.3

Suma

$0.38050637$ y

$2 π$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{6.66369168}{2})$

Paso 10.4

Divide

$6.66369168$ por

$2$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot 3.33184584$

Paso 10.5

Multiplica

${\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s$ por

$3.33184584$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (3.33184584)$

Paso 11

Enumera las soluciones.

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (0.19025318)$

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (3.33184584)$