Álgebra lineal Ejemplos

$- 3 + 3 \sqrt{3} i$

Paso 1

Calcula la distancia desde $(a, b)$ hasta el origen mediante la fórmula $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 2

Simplifica $\sqrt{{(- 3)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$ .

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Paso 2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{9 + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 2.1.2

Aplica la regla del producto a $3 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{9 + 3^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{9 + 9 {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{9 + 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.4.1

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{1}}$

Paso 2.2.5

Evalúa el exponente.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3}$

Paso 2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1

Multiplica $9$ por $3$ .

$r = \sqrt{9 + 27}$

Paso 2.3.2

Suma $9$ y $27$ .

$r = \sqrt{36}$

Paso 2.3.3

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$r = \sqrt{6^{2}}$

Paso 2.3.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = 6$

Paso 3

Calcula el ángulo de referencia $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{3 \sqrt{3}}{- 3} |)$

Paso 4

Simplifica $\arctan (| \frac{3 \sqrt{3}}{- 3} |)$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $3$ y $- 3$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{3 (\sqrt{3})}{- 3} |)$

Paso 4.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot \sqrt{3} |)$

Paso 4.2

Reescribe $- 1 \cdot \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$θ̂ = \arctan (| - \sqrt{3} |)$

Paso 4.3

$- \sqrt{3}$ es aproximadamente $- 1.7320508$ , que es negativo, así es que niega $- \sqrt{3}$ y elimina el valor absoluto.

$θ̂ = \arctan (\sqrt{3})$

Paso 4.4

El valor exacto de $\arctan (\sqrt{3})$ es $\frac{π}{3}$ .

$θ̂ = \frac{π}{3}$

Paso 5

El punto se ubica en el segundo cuadrante porque $x$ es negativa y $y$ es positiva. Los cuadrantes están etiquetados en sentido contrario a las agujas del reloj, con inicio en la esquina superior derecha.

Cuadrante $2$

Paso 6

$(a, b)$ está en el segundo cuadrante. $θ = π - θ̂$

$θ = π - \frac{π}{3}$

Paso 7

Simplifica $θ$ .

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Paso 7.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.2

Combina fracciones.

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Paso 7.2.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Paso 7.3.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Paso 8

Usa la fórmula para obtener las raíces del número complejo.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Paso 9

Sustituye $r$ , $n$ y $θ$ en la fórmula.

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Paso 9.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π k}{2}$

Paso 9.2

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π k}{2}$

Paso 9.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π k}{2}$

Paso 9.4

Resta $π$ de $π \cdot 3$ .

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Paso 9.4.1

Reordena $π$ y $3$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π k}{2}$

Paso 9.4.2

Resta $π$ de $3 \cdot π$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k}{2}$

Paso 9.5

Combina ${(6)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Paso 9.6

Combina $c$ y $\frac{{(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Paso 9.7

Combina $i$ y $\frac{c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$

Paso 9.8

Combina $s$ y $\frac{i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))))}{2}$

Paso 9.9

Elimina los paréntesis.

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Paso 9.9.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c (6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))))}{2}$

Paso 9.9.2

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$

Paso 9.9.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c \cdot 6^{\frac{1}{2}}) (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Paso 9.9.4

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Paso 9.9.5

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c \cdot 6^{\frac{1}{2}}) (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Paso 9.9.6

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c) \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Paso 9.9.7

Elimina los paréntesis.

$\frac{s i c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Paso 10

Sustituye $k = 0$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 10.1

Elimina los paréntesis.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - \frac{π}{3}) + 2 π (0)}{2})$

Paso 10.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Paso 10.3

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Paso 10.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Paso 10.5

Simplifica el numerador.

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Paso 10.5.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Paso 10.5.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Paso 10.6

Multiplica $2 π (0)$ .

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Paso 10.6.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 0 π}{2})$

Paso 10.6.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 0}{2})$

Paso 10.7

Suma $\frac{2 π}{3}$ y $0$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3}}{2})$

Paso 10.8

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 10.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.9.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 10.9.2

Cancela el factor común.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 10.9.3

Reescribe la expresión.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{3})$

Paso 11

Sustituye $k = 1$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - \frac{π}{3}) + 2 π (1)}{2})$

Paso 11.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Paso 11.3

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Paso 11.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Paso 11.5

Simplifica el numerador.

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Paso 11.5.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Paso 11.5.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Paso 11.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π}{2})$

Paso 11.7

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}}{2})$

Paso 11.8

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}}{2})$

Paso 11.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π + 2 π \cdot 3}{3}}{2})$

Paso 11.10

Simplifica el numerador.

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Paso 11.10.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π + 6 π}{3}}{2})$

Paso 11.10.2

Suma $2 π$ y $6 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{8 π}{3}}{2})$

Paso 11.11

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{8 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 11.12

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.12.1

Factoriza $2$ de $8 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (4 π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 11.12.2

Cancela el factor común.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (4 π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 11.12.3

Reescribe la expresión.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{4 π}{3})$

Paso 12

Enumera las soluciones.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{3})$

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{4 π}{3})$