Álgebra lineal Ejemplos

$- 3 + 4 i$

Paso 1

Calcula la distancia desde $(a, b)$ hasta el origen mediante la fórmula $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}$

Paso 2

Simplifica $\sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}$ .

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Paso 2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{9 + 4^{2}}$

Paso 2.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{9 + 16}$

Paso 2.3

Suma $9$ y $16$ .

$r = \sqrt{25}$

Paso 2.4

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$r = \sqrt{5^{2}}$

Paso 2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = 5$

Paso 3

Calcula el ángulo de referencia $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{4}{- 3} |)$

Paso 4

Simplifica $\arctan (| \frac{4}{- 3} |)$ .

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$θ̂ = \arctan (| - \frac{4}{3} |)$

Paso 4.2

$- \frac{4}{3}$ es aproximadamente $- 1.\overline{3}$ , que es negativo, así es que niega $- \frac{4}{3}$ y elimina el valor absoluto.

$θ̂ = \arctan (\frac{4}{3})$

Paso 4.3

Evalúa $\arctan (\frac{4}{3})$ .

$θ̂ = 0.92729521$

Paso 5

El punto se ubica en el segundo cuadrante porque $x$ es negativa y $y$ es positiva. Los cuadrantes están etiquetados en sentido contrario a las agujas del reloj, con inicio en la esquina superior derecha.

Cuadrante $2$

Paso 6

$(a, b)$ está en el segundo cuadrante. $θ = π - θ̂$

$θ = π - 0.92729521$

Paso 7

Simplifica $θ$ .

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Paso 7.1

Reemplaza con aproximación decimal.

$3.14159265 - 0.92729521$

Paso 7.2

Resta $0.92729521$ de $3.14159265$ .

$2.21429743$

Paso 8

Usa la fórmula para obtener las raíces del número complejo.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Paso 9

Sustituye $r$ , $n$ y $θ$ en la fórmula.

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Paso 9.1

Reemplaza con aproximación decimal.

${(5)}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π k}{3}$

Paso 9.2

Resta $0.92729521$ de $3.14159265$ .

${(5)}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{2.21429743 + 2 π k}{3}$

Paso 9.3

Combina ${(5)}^{\frac{1}{3}}$ y $\frac{2.21429743 + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)}{3}$

Paso 9.4

Combina $c$ y $\frac{{(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))}{3}$

Paso 9.5

Combina $i$ y $\frac{c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)))}{3}$

Paso 9.6

Combina $s$ y $\frac{i (c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))))}{3}$

Paso 9.7

Elimina los paréntesis.

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Paso 9.7.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c (5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))))}{3}$

Paso 9.7.2

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c \cdot 5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)))}{3}$

Paso 9.7.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c \cdot 5^{\frac{1}{3}}) (2.21429743 + 2 π k))}{3}$

Paso 9.7.4

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c \cdot 5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))}{3}$

Paso 9.7.5

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c \cdot 5^{\frac{1}{3}}) (2.21429743 + 2 π k)}{3}$

Paso 9.7.6

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c) \cdot 5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)}{3}$

Paso 9.7.7

Elimina los paréntesis.

$\frac{s i c \cdot 5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)}{3}$

Paso 10

Sustituye $k = 0$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 10.1

Elimina los paréntesis.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (0)}{3})$

Paso 10.2

Reemplaza con aproximación decimal.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (0)}{3})$

Paso 10.3

Resta $0.92729521$ de $3.14159265$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (0)}{3})$

Paso 10.4

Multiplica $2 π (0)$ .

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Paso 10.4.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 0 π}{3})$

Paso 10.4.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 0}{3})$

Paso 10.5

Suma $2.21429743$ y $0$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743}{3})$

Paso 10.6

Divide $2.21429743$ por $3$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot 0.73809914$

Paso 10.7

Multiplica $5^{\frac{1}{3}} c i s$ por $0.73809914$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (0.73809914)$

Paso 11

Sustituye $k = 1$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (1)}{3})$

Paso 11.2

Reemplaza con aproximación decimal.

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (1)}{3})$

Paso 11.3

Resta $0.92729521$ de $3.14159265$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (1)}{3})$

Paso 11.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π}{3})$

Paso 11.5

Suma $2.21429743$ y $2 π$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{8.49748274}{3})$

Paso 11.6

Divide $8.49748274$ por $3$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot 2.83249424$

Paso 11.7

Multiplica $5^{\frac{1}{3}} c i s$ por $2.83249424$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (2.83249424)$

Paso 12

Sustituye $k = 2$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (2)}{3})$

Paso 12.2

Reemplaza con aproximación decimal.

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (2)}{3})$

Paso 12.3

Resta $0.92729521$ de $3.14159265$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (2)}{3})$

Paso 12.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 4 π}{3})$

Paso 12.5

Suma $2.21429743$ y $4 π$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{14.78066804}{3})$

Paso 12.6

Divide $14.78066804$ por $3$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot 4.92688934$

Paso 12.7

Multiplica $5^{\frac{1}{3}} c i s$ por $4.92688934$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (4.92688934)$

Paso 13

Enumera las soluciones.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (0.73809914)$

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (2.83249424)$

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (4.92688934)$