Álgebra lineal Ejemplos

$2 x - 3 y + z = 4$ $y - 2 z + x - 5 = 0$ $3 - 2 x = 4 y - z$

Paso 1

Mueve todas las variables al lado izquierdo de cada ecuación.

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Paso 1.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x - 3 y + z = 4$

$y - 2 z + x = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Paso 1.2

Mueve $- 2 z$ .

$2 x - 3 y + z = 4$

$y + x - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Paso 1.3

Reordena $y$ y $x$ .

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Paso 1.4

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 1.4.1

Resta $4 y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y = - z$

Paso 1.4.2

Suma $z$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

Paso 1.5

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

Paso 2

Representa el sistema de ecuaciones en el formato de la matriz.

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$

Paso 3

Obtén el determinante de la matriz coeficiente $[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}]$ .

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Paso 3.1

Escribe $[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}]$ en la notación determinante.

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array} |$

Paso 3.2

Elige la fila o columna con más elementos $0$ . Si no hay elementos $0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila $1$ por su cofactor y suma.

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Paso 3.2.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 3.2.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición $-$ en el cuadro de signos.

Paso 3.2.3

El elemento menor de $a_{11}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Paso 3.2.4

Multiplica el elemento $a_{11}$ por su cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Paso 3.2.5

El elemento menor de $a_{12}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Paso 3.2.6

Multiplica el elemento $a_{12}$ por su cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Paso 3.2.7

El elemento menor de $a_{13}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $3$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.2.8

Multiplica el elemento $a_{13}$ por su cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.2.9

Suma los términos juntos.

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 3.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$2 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $- (- 4 \cdot - 2)$ .

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Paso 3.3.2.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$2 (1 - 1 \cdot 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.3.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$2 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.3.2.2

Resta $8$ de $1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 3.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $- (- 2 \cdot - 2)$ .

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Paso 3.4.2.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.4.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.4.2.2

Resta $4$ de $1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.5

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

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Paso 3.5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (1 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 1))$

Paso 3.5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 - (- 2 \cdot 1))$

Paso 3.5.2.1.2

Multiplica $- (- 2 \cdot 1)$ .

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Paso 3.5.2.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 - - 2)$

Paso 3.5.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 + 2)$

Paso 3.5.2.2

Suma $- 4$ y $2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 \cdot - 2$

Paso 3.6

Simplifica el determinante.

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Paso 3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.1.1

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$- 14 + 3 \cdot - 3 + 1 \cdot - 2$

Paso 3.6.1.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$- 14 - 9 + 1 \cdot - 2$

Paso 3.6.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 14 - 9 - 2$

Paso 3.6.2

Resta $9$ de $- 14$ .

$- 23 - 2$

Paso 3.6.3

Resta $2$ de $- 23$ .

$- 25$

$D = - 25$

Paso 4

Como el determinante no es $0$ , se puede resolver el sistema con la regla de Cramer.

Paso 5

Obtén el valor de $x$ con la regla de Cramer, que establece que $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la columna $1$ de la matriz del coeficiente que corresponde a los coeficientes de $x$ del sistema con $[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 4 & - 3 & 1 \\ 5 & 1 & - 2 \\ - 3 & - 4 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2

Obtén el determinante.

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Paso 5.2.1

Elige la fila o columna con más elementos $0$ . Si no hay elementos $0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila $1$ por su cofactor y suma.

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Paso 5.2.1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.2.1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición $-$ en el cuadro de signos.

Paso 5.2.1.3

El elemento menor de $a_{11}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.1.4

Multiplica el elemento $a_{11}$ por su cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.1.5

El elemento menor de $a_{12}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.1.6

Multiplica el elemento $a_{12}$ por su cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.1.7

El elemento menor de $a_{13}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $3$ borradas.

$| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.1.8

Multiplica el elemento $a_{13}$ por su cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.1.9

Suma los términos juntos.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 5.2.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$4 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.1.2

Multiplica $- (- 4 \cdot - 2)$ .

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Paso 5.2.2.2.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$4 (1 - 1 \cdot 8) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$4 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.2

Resta $8$ de $1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 5.2.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 \cdot 1 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.1.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.3.2.1.2

Multiplica $- (- 3 \cdot - 2)$ .

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Paso 5.2.3.2.1.2.1

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - 1 \cdot 6) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.3.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - 6) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.3.2.2

Resta $6$ de $5$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$ .

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Paso 5.2.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (5 \cdot - 4 - (- 3 \cdot 1))$

Paso 5.2.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.2.1.1

Multiplica $5$ por $- 4$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 - (- 3 \cdot 1))$

Paso 5.2.4.2.1.2

Multiplica $- (- 3 \cdot 1)$ .

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Paso 5.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 - - 3)$

Paso 5.2.4.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 + 3)$

Paso 5.2.4.2.2

Suma $- 20$ y $3$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 \cdot - 17$

Paso 5.2.5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.5.1.1

Multiplica $4$ por $- 7$ .

$- 28 + 3 \cdot - 1 + 1 \cdot - 17$

Paso 5.2.5.1.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 28 - 3 + 1 \cdot - 17$

Paso 5.2.5.1.3

Multiplica $- 17$ por $1$ .

$- 28 - 3 - 17$

Paso 5.2.5.2

Resta $3$ de $- 28$ .

$- 31 - 17$

Paso 5.2.5.3

Resta $17$ de $- 31$ .

$- 48$

$D_{x} = - 48$

Paso 5.3

Usa la fórmula para resolver $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Paso 5.4

Sustituye $- 25$ por $D$ y $- 48$ por $D_{x}$ en la fórmula.

$x = \frac{- 48}{- 25}$

Paso 5.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{48}{25}$

Paso 6

Obtén el valor de $y$ con la regla de Cramer, que establece que $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la columna $2$ de la matriz del coeficiente que corresponde a los coeficientes de $y$ del sistema con $[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & - 2 \\ - 2 & - 3 & 1 \end{array} |$

Paso 6.2

Obtén el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Elige la fila o columna con más elementos $0$ . Si no hay elementos $0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila $1$ por su cofactor y suma.

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Paso 6.2.1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 6.2.1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición $-$ en el cuadro de signos.

Paso 6.2.1.3

El elemento menor de $a_{11}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Paso 6.2.1.4

Multiplica el elemento $a_{11}$ por su cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Paso 6.2.1.5

El elemento menor de $a_{12}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Paso 6.2.1.6

Multiplica el elemento $a_{12}$ por su cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Paso 6.2.1.7

El elemento menor de $a_{13}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $3$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.1.8

Multiplica el elemento $a_{13}$ por su cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.1.9

Suma los términos juntos.

$2 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.2

Evalúa $| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 6.2.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (5 \cdot 1 - (- 3 \cdot - 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 6.2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.2.1.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$2 (5 - (- 3 \cdot - 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.2.2.1.2

Multiplica $- (- 3 \cdot - 2)$ .

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Paso 6.2.2.2.1.2.1

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$2 (5 - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.2.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$2 (5 - 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.2.2.2

Resta $6$ de $5$ .

$2 \cdot - 1 - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.3.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.3.2.1.2

Multiplica $- (- 2 \cdot - 2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.3.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.3.2.2

Resta $4$ de $1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ .

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Paso 6.2.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (1 \cdot - 3 - (- 2 \cdot 5))$

Paso 6.2.4.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 - (- 2 \cdot 5))$

Paso 6.2.4.2.1.2

Multiplica $- (- 2 \cdot 5)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 - - 10)$

Paso 6.2.4.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 + 10)$

Paso 6.2.4.2.2

Suma $- 3$ y $10$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 \cdot 7$

Paso 6.2.5

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.5.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 - 4 \cdot - 3 + 1 \cdot 7$

Paso 6.2.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$- 2 + 12 + 1 \cdot 7$

Paso 6.2.5.1.3

Multiplica $7$ por $1$ .

$- 2 + 12 + 7$

Paso 6.2.5.2

Suma $- 2$ y $12$ .

$10 + 7$

Paso 6.2.5.3

Suma $10$ y $7$ .

$17$

$D_{y} = 17$

Paso 6.3

Usa la fórmula para resolver $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Paso 6.4

Sustituye $- 25$ por $D$ y $17$ por $D_{y}$ en la fórmula.

$y = \frac{17}{- 25}$

Paso 6.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{17}{25}$

Paso 7

Obtén el valor de $z$ con la regla de Cramer, que establece que $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

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Paso 7.1

Reemplaza la columna $3$ de la matriz del coeficiente que corresponde a los coeficientes de $z$ del sistema con $[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & 5 \\ - 2 & - 4 & - 3 \end{array} |$

Paso 7.2

Obtén el determinante.

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Paso 7.2.1

Elige la fila o columna con más elementos $0$ . Si no hay elementos $0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila $1$ por su cofactor y suma.

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Paso 7.2.1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 7.2.1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición $-$ en el cuadro de signos.

Paso 7.2.1.3

El elemento menor de $a_{11}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Paso 7.2.1.4

Multiplica el elemento $a_{11}$ por su cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Paso 7.2.1.5

El elemento menor de $a_{12}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 7.2.1.6

Multiplica el elemento $a_{12}$ por su cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 7.2.1.7

El elemento menor de $a_{13}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $3$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.1.8

Multiplica el elemento $a_{13}$ por su cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.1.9

Suma los términos juntos.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.2

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$ .

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Paso 7.2.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (1 \cdot - 3 - (- 4 \cdot 5)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 7.2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.2.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$2 (- 3 - (- 4 \cdot 5)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.2.2.1.2

Multiplica $- (- 4 \cdot 5)$ .

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Paso 7.2.2.2.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$2 (- 3 - - 20) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.2.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 20$ .

$2 (- 3 + 20) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.2.2.2

Suma $- 3$ y $20$ .

$2 \cdot 17 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ .

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Paso 7.2.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 17 + 3 (1 \cdot - 3 - (- 2 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 7.2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.3.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 - (- 2 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.3.2.1.2

Multiplica $- (- 2 \cdot 5)$ .

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Paso 7.2.3.2.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 - - 10) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.3.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 + 10) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.3.2.2

Suma $- 3$ y $10$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

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Paso 7.2.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (1 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 1))$

Paso 7.2.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 7.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.4.2.1.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 - (- 2 \cdot 1))$

Paso 7.2.4.2.1.2

Multiplica $- (- 2 \cdot 1)$ .

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Paso 7.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 - - 2)$

Paso 7.2.4.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 + 2)$

Paso 7.2.4.2.2

Suma $- 4$ y $2$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot - 2$

Paso 7.2.5

Simplifica el determinante.

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Paso 7.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.5.1.1

Multiplica $2$ por $17$ .

$34 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot - 2$

Paso 7.2.5.1.2

Multiplica $3$ por $7$ .

$34 + 21 + 4 \cdot - 2$

Paso 7.2.5.1.3

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$34 + 21 - 8$

Paso 7.2.5.2

Suma $34$ y $21$ .

$55 - 8$

Paso 7.2.5.3

Resta $8$ de $55$ .

$47$

$D_{z} = 47$

Paso 7.3

Usa la fórmula para resolver $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Paso 7.4

Sustituye $- 25$ por $D$ y $47$ por $D_{z}$ en la fórmula.

$z = \frac{47}{- 25}$

Paso 7.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$z = - \frac{47}{25}$

Paso 8

Enumera la solución del sistema de ecuaciones.

$x = \frac{48}{25}$

$y = - \frac{17}{25}$

$z = - \frac{47}{25}$