Álgebra lineal Ejemplos

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

y - 2 z + x - 5 = 0

$y - 2 z + x - 5 = 0$

3 - 2 x = 4 y - z

$3 - 2 x = 4 y - z$

Paso 1

Mueve todas las variables al lado izquierdo de cada ecuación.

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Paso 1.1

Suma

5

$5$ a ambos lados de la ecuación.

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

y - 2 z + x = 5

$y - 2 z + x = 5$

3 - 2 x = 4 y - z

$3 - 2 x = 4 y - z$

Paso 1.2

Mueve

- 2 z

$- 2 z$ .

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

y + x - 2 z = 5

$y + x - 2 z = 5$

3 - 2 x = 4 y - z

$3 - 2 x = 4 y - z$

Paso 1.3

Reordena

y

$y$ y

x

$x$ .

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

3 - 2 x = 4 y - z

$3 - 2 x = 4 y - z$

Paso 1.4

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 1.4.1

Resta

4 y

$4 y$ de ambos lados de la ecuación.

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

3 - 2 x - 4 y = - z

$3 - 2 x - 4 y = - z$

Paso 1.4.2

Suma

z

$z$ a ambos lados de la ecuación.

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

3 - 2 x - 4 y + z = 0

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

3 - 2 x - 4 y + z = 0

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

Paso 1.5

Resta

3

$3$ de ambos lados de la ecuación.

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

- 2 x - 4 y + z = - 3

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

- 2 x - 4 y + z = - 3

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

Paso 2

Representa el sistema de ecuaciones en el formato de la matriz.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & - 3 & 1 1 & 1 & - 2 - 2 & - 4 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 45 - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$

Paso 3

Obtén el determinante de la matriz coeficiente

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & - 3 & 1 1 & 1 & - 2 - 2 & - 4 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}]$ .

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Paso 3.1

Escribe

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & - 3 & 1 1 & 1 & - 2 - 2 & - 4 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}]$ en la notación determinante.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 3 & 1 1 & 1 & - 2 - 2 & - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array} |$

Paso 3.2

Elige la fila o columna con más elementos

0

$0$ . Si no hay elementos

0

$0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila

1

$1$ por su cofactor y suma.

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Paso 3.2.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 3.2.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición

-

$-$ en el cuadro de signos.

Paso 3.2.3

El elemento menor de

a_{11}

$a_{11}$ es la determinante con la fila

1

$1$ y la columna

1

$1$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 2 - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Paso 3.2.4

Multiplica el elemento

a_{11}

$a_{11}$ por su cofactor.

2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 2 - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Paso 3.2.5

El elemento menor de

a_{12}

$a_{12}$ es la determinante con la fila

1

$1$ y la columna

2

$2$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 2 - 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Paso 3.2.6

Multiplica el elemento

a_{12}

$a_{12}$ por su cofactor.

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 2 - 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Paso 3.2.7

El elemento menor de

a_{13}

$a_{13}$ es la determinante con la fila

1

$1$ y la columna

3

$3$ borradas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 - 2 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.2.8

Multiplica el elemento

a_{13}

$a_{13}$ por su cofactor.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 - 2 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.2.9

Suma los términos juntos.

2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 2 - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 2 - 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 - 2 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 2 - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 2 - 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 - 2 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.3

Evalúa

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 2 - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 3.3.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

2 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 2 - 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 - 2 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.3.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Multiplica

1

$1$ por

1

$1$ .

2 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 2 - 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 - 2 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica

- (- 4 \cdot - 2)

$- (- 4 \cdot - 2)$ .

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Paso 3.3.2.1.2.1

Multiplica

- 4

$- 4$ por

- 2

$- 2$ .

2 (1 - 1 \cdot 8) + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 2 - 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 - 2 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 (1 - 1 \cdot 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.3.2.1.2.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

8

$8$ .

2 (1 - 8) + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 2 - 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 - 2 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

2 (1 - 8) + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 2 - 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 - 2 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

2 (1 - 8) + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 2 - 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 - 2 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.3.2.2

Resta

8

$8$ de

1

$1$ .

2 \cdot - 7 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 2 - 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 - 2 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

2 \cdot - 7 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 2 - 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 - 2 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

2 \cdot - 7 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 2 - 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 - 2 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.4

Evalúa

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 2 - 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 3.4.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.4.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1.1

Multiplica

$1$ por

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica

$- (- 2 \cdot - 2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1.2.1

Multiplica

$- 2$ por

$- 2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.4.2.1.2.2

Multiplica

$- 1$ por

$4$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.4.2.2

Resta

$4$ de

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 3.5

Evalúa

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

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Paso 3.5.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (1 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 1))$

Paso 3.5.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.1

Multiplica

$- 4$ por

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 - (- 2 \cdot 1))$

Paso 3.5.2.1.2

Multiplica

$- (- 2 \cdot 1)$ .

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Paso 3.5.2.1.2.1

Multiplica

$- 2$ por

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 - - 2)$

Paso 3.5.2.1.2.2

Multiplica

$- 1$ por

$- 2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 + 2)$

Paso 3.5.2.2

Suma

$- 4$ y

$2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 \cdot - 2$

Paso 3.6

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1.1

Multiplica

$2$ por

$- 7$ .

$- 14 + 3 \cdot - 3 + 1 \cdot - 2$

Paso 3.6.1.2

Multiplica

$3$ por

$- 3$ .

$- 14 - 9 + 1 \cdot - 2$

Paso 3.6.1.3

Multiplica

$- 2$ por

$1$ .

$- 14 - 9 - 2$

Paso 3.6.2

Resta

$9$ de

$- 14$ .

$- 23 - 2$

Paso 3.6.3

Resta

$2$ de

$- 23$ .

$- 25$

$D = - 25$

Paso 4

Como el determinante no es

$0$ , se puede resolver el sistema con la regla de Cramer.

Paso 5

Obtén el valor de

$x$ con la regla de Cramer, que establece que

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la columna

$1$ de la matriz del coeficiente que corresponde a los coeficientes de

$x$ del sistema con

$[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 4 & - 3 & 1 \\ 5 & 1 & - 2 \\ - 3 & - 4 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2

Obtén el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Elige la fila o columna con más elementos

$0$ . Si no hay elementos

$0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila

$1$ por su cofactor y suma.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.2.1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición

$-$ en el cuadro de signos.

Paso 5.2.1.3

El elemento menor de

$a_{11}$ es la determinante con la fila

$1$ y la columna

$1$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.1.4

Multiplica el elemento

$a_{11}$ por su cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.1.5

El elemento menor de

$a_{12}$ es la determinante con la fila

$1$ y la columna

$2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.1.6

Multiplica el elemento

$a_{12}$ por su cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.1.7

El elemento menor de

$a_{13}$ es la determinante con la fila

$1$ y la columna

$3$ borradas.

$| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.1.8

Multiplica el elemento

$a_{13}$ por su cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.1.9

Suma los términos juntos.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2

Evalúa

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1.1

Multiplica

$1$ por

$1$ .

$4 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.1.2

Multiplica

$- (- 4 \cdot - 2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1.2.1

Multiplica

$- 4$ por

$- 2$ .

$4 (1 - 1 \cdot 8) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.1.2.2

Multiplica

$- 1$ por

$8$ .

$4 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.2

Resta

$8$ de

$1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.3

Evalúa

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 \cdot 1 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.3.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.1.1

Multiplica

$5$ por

$1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.3.2.1.2

Multiplica

$- (- 3 \cdot - 2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.1.2.1

Multiplica

$- 3$ por

$- 2$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - 1 \cdot 6) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.3.2.1.2.2

Multiplica

$- 1$ por

$6$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - 6) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.3.2.2

Resta

$6$ de

$5$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.4

Evalúa

$| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (5 \cdot - 4 - (- 3 \cdot 1))$

Paso 5.2.4.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.2.1.1

Multiplica

$5$ por

$- 4$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 - (- 3 \cdot 1))$

Paso 5.2.4.2.1.2

Multiplica

$- (- 3 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.2.1.2.1

Multiplica

$- 3$ por

$1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 - - 3)$

Paso 5.2.4.2.1.2.2

Multiplica

$- 1$ por

$- 3$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 + 3)$

Paso 5.2.4.2.2

Suma

$- 20$ y

$3$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 \cdot - 17$

Paso 5.2.5

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.5.1.1

Multiplica

$4$ por

$- 7$ .

$- 28 + 3 \cdot - 1 + 1 \cdot - 17$

Paso 5.2.5.1.2

Multiplica

$3$ por

$- 1$ .

$- 28 - 3 + 1 \cdot - 17$

Paso 5.2.5.1.3

Multiplica

$- 17$ por

$1$ .

$- 28 - 3 - 17$

Paso 5.2.5.2

Resta

$3$ de

$- 28$ .

$- 31 - 17$

Paso 5.2.5.3

Resta

$17$ de

$- 31$ .

$- 48$

$D_{x} = - 48$

Paso 5.3

Usa la fórmula para resolver

$x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Paso 5.4

Sustituye

$- 25$ por

$D$ y

$- 48$ por

$D_{x}$ en la fórmula.

$x = \frac{- 48}{- 25}$

Paso 5.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{48}{25}$

Paso 6

Obtén el valor de

$y$ con la regla de Cramer, que establece que

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la columna

$2$ de la matriz del coeficiente que corresponde a los coeficientes de

$y$ del sistema con

$[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & - 2 \\ - 2 & - 3 & 1 \end{array} |$

Paso 6.2

Obtén el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Elige la fila o columna con más elementos

$0$ . Si no hay elementos

$0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila

$1$ por su cofactor y suma.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 6.2.1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición

$-$ en el cuadro de signos.

Paso 6.2.1.3

El elemento menor de

$a_{11}$ es la determinante con la fila

$1$ y la columna

$1$ borradas.

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Paso 6.2.1.4

Multiplica el elemento

$a_{11}$ por su cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Paso 6.2.1.5

El elemento menor de

$a_{12}$ es la determinante con la fila

$1$ y la columna

$2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Paso 6.2.1.6

Multiplica el elemento

$a_{12}$ por su cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Paso 6.2.1.7

El elemento menor de

$a_{13}$ es la determinante con la fila

$1$ y la columna

$3$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.1.8

Multiplica el elemento

$a_{13}$ por su cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.1.9

Suma los términos juntos.

$2 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.2

Evalúa

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (5 \cdot 1 - (- 3 \cdot - 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.2.1.1

Multiplica

$5$ por

$1$ .

$2 (5 - (- 3 \cdot - 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.2.2.1.2

Multiplica

$- (- 3 \cdot - 2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.2.1.2.1

Multiplica

$- 3$ por

$- 2$ .

$2 (5 - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.2.2.1.2.2

Multiplica

$- 1$ por

$6$ .

$2 (5 - 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.2.2.2

Resta

$6$ de

$5$ .

$2 \cdot - 1 - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.3

Evalúa

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.3.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.1.1

Multiplica

$1$ por

$1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.3.2.1.2

Multiplica

$- (- 2 \cdot - 2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.1.2.1

Multiplica

$- 2$ por

$- 2$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.3.2.1.2.2

Multiplica

$- 1$ por

$4$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.3.2.2

Resta

$4$ de

$1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 6.2.4

Evalúa

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (1 \cdot - 3 - (- 2 \cdot 5))$

Paso 6.2.4.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.2.1.1

Multiplica

$- 3$ por

$1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 - (- 2 \cdot 5))$

Paso 6.2.4.2.1.2

Multiplica

$- (- 2 \cdot 5)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.2.1.2.1

Multiplica

$- 2$ por

$5$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 - - 10)$

Paso 6.2.4.2.1.2.2

Multiplica

$- 1$ por

$- 10$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 + 10)$

Paso 6.2.4.2.2

Suma

$- 3$ y

$10$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 \cdot 7$

Paso 6.2.5

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.5.1.1

Multiplica

$2$ por

$- 1$ .

$- 2 - 4 \cdot - 3 + 1 \cdot 7$

Paso 6.2.5.1.2

Multiplica

$- 4$ por

$- 3$ .

$- 2 + 12 + 1 \cdot 7$

Paso 6.2.5.1.3

Multiplica

$7$ por

$1$ .

$- 2 + 12 + 7$

Paso 6.2.5.2

Suma

$- 2$ y

$12$ .

$10 + 7$

Paso 6.2.5.3

Suma

$10$ y

$7$ .

$17$

$D_{y} = 17$

Paso 6.3

Usa la fórmula para resolver

$y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Paso 6.4

Sustituye

$- 25$ por

$D$ y

$17$ por

$D_{y}$ en la fórmula.

$y = \frac{17}{- 25}$

Paso 6.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{17}{25}$

Paso 7

Obtén el valor de

$z$ con la regla de Cramer, que establece que

$z = \frac{D_{z}}{D}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la columna

$3$ de la matriz del coeficiente que corresponde a los coeficientes de

$z$ del sistema con

$[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & 5 \\ - 2 & - 4 & - 3 \end{array} |$

Paso 7.2

Obtén el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Elige la fila o columna con más elementos

$0$ . Si no hay elementos

$0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila

$1$ por su cofactor y suma.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 7.2.1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición

$-$ en el cuadro de signos.

Paso 7.2.1.3

El elemento menor de

$a_{11}$ es la determinante con la fila

$1$ y la columna

$1$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Paso 7.2.1.4

Multiplica el elemento

$a_{11}$ por su cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Paso 7.2.1.5

El elemento menor de

$a_{12}$ es la determinante con la fila

$1$ y la columna

$2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 7.2.1.6

Multiplica el elemento

$a_{12}$ por su cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Paso 7.2.1.7

El elemento menor de

$a_{13}$ es la determinante con la fila

$1$ y la columna

$3$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.1.8

Multiplica el elemento

$a_{13}$ por su cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.1.9

Suma los términos juntos.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.2

Evalúa

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (1 \cdot - 3 - (- 4 \cdot 5)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.2.1.1

Multiplica

$- 3$ por

$1$ .

$2 (- 3 - (- 4 \cdot 5)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.2.2.1.2

Multiplica

$- (- 4 \cdot 5)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.2.1.2.1

Multiplica

$- 4$ por

$5$ .

$2 (- 3 - - 20) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.2.2.1.2.2

Multiplica

$- 1$ por

$- 20$ .

$2 (- 3 + 20) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.2.2.2

Suma

$- 3$ y

$20$ .

$2 \cdot 17 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.3

Evalúa

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 17 + 3 (1 \cdot - 3 - (- 2 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.3.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.2.1.1

Multiplica

$- 3$ por

$1$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 - (- 2 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.3.2.1.2

Multiplica

$- (- 2 \cdot 5)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.2.1.2.1

Multiplica

$- 2$ por

$5$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 - - 10) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.3.2.1.2.2

Multiplica

$- 1$ por

$- 10$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 + 10) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.3.2.2

Suma

$- 3$ y

$10$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 7.2.4

Evalúa

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (1 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 1))$

Paso 7.2.4.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.2.1.1

Multiplica

$- 4$ por

$1$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 - (- 2 \cdot 1))$

Paso 7.2.4.2.1.2

Multiplica

$- (- 2 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.2.1.2.1

Multiplica

$- 2$ por

$1$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 - - 2)$

Paso 7.2.4.2.1.2.2

Multiplica

$- 1$ por

$- 2$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 + 2)$

Paso 7.2.4.2.2

Suma

$- 4$ y

$2$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot - 2$

Paso 7.2.5

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.5.1.1

Multiplica

$2$ por

$17$ .

$34 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot - 2$

Paso 7.2.5.1.2

Multiplica

$3$ por

$7$ .

$34 + 21 + 4 \cdot - 2$

Paso 7.2.5.1.3

Multiplica

$4$ por

$- 2$ .

$34 + 21 - 8$

Paso 7.2.5.2

Suma

$34$ y

$21$ .

$55 - 8$

Paso 7.2.5.3

Resta

$8$ de

$55$ .

$47$

$D_{z} = 47$

Paso 7.3

Usa la fórmula para resolver

$z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Paso 7.4

Sustituye

$- 25$ por

$D$ y

$47$ por

$D_{z}$ en la fórmula.

$z = \frac{47}{- 25}$

Paso 7.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$z = - \frac{47}{25}$

Paso 8

Enumera la solución del sistema de ecuaciones.

$x = \frac{48}{25}$

$y = - \frac{17}{25}$

$z = - \frac{47}{25}$