Álgebra lineal Ejemplos

$4 + 4 i$

Paso 1

Calcula la distancia desde $(a, b)$ hasta el origen mediante la fórmula $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{4^{2} + 4^{2}}$

Paso 2

Simplifica $\sqrt{4^{2} + 4^{2}}$ .

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Paso 2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{16 + 4^{2}}$

Paso 2.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{16 + 16}$

Paso 2.3

Suma $16$ y $16$ .

$r = \sqrt{32}$

Paso 2.4

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$r = \sqrt{16 (2)}$

Paso 2.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$r = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Paso 2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$r = 4 \sqrt{2}$

Paso 3

Calcula el ángulo de referencia $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{4}{4} |)$

Paso 4

Simplifica $\arctan (| \frac{4}{4} |)$ .

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Paso 4.1

Divide $4$ por $4$ .

$θ̂ = \arctan (| 1 |)$

Paso 4.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$θ̂ = \arctan (1)$

Paso 4.3

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$θ̂ = \frac{π}{4}$

Paso 5

El punto se ubica en el primer cuadrante porque tanto $x$ como $y$ son positivas. Los cuadrantes están etiquetados en sentido contrario a las agujas del reloj, con inicio en la esquina superior derecha.

Cuadrante $1$

Paso 6

$(a, b)$ está en el primer cuadrante. $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{4}$

Paso 7

Usa la fórmula para obtener las raíces del número complejo.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Paso 8

Sustituye $r$ , $n$ y $θ$ en la fórmula.

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Paso 8.1

Combina ${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{2}$

Paso 8.2

Combina $c$ y $\frac{{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{2}$

Paso 8.3

Combina $i$ y $\frac{c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{2}$

Paso 8.4

Combina $s$ y $\frac{i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))))}{2}$

Paso 8.5

Elimina los paréntesis.

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Paso 8.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{π}{4} + 2 π k))))}{2}$

Paso 8.5.2

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{π}{4} + 2 π k)))}{2}$

Paso 8.5.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{π}{4} + 2 π k))}{2}$

Paso 8.5.4

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{π}{4} + 2 π k))}{2}$

Paso 8.5.5

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{π}{4} + 2 π k)}{2}$

Paso 8.5.6

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c) {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{2}$

Paso 8.5.7

Elimina los paréntesis.

$\frac{s i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{2}$

Paso 9

Sustituye $k = 0$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la regla del producto a $4 \sqrt{2}$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Paso 9.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$k = 0 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Paso 9.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Paso 9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.4.1

Cancela el factor común.

$k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Paso 9.4.2

Reescribe la expresión.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Paso 9.5

Evalúa el exponente.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Paso 9.6

Multiplica $2 π (0)$ .

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Paso 9.6.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0 π}{2})$

Paso 9.6.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0}{2})$

Paso 9.7

Suma $\frac{π}{4}$ y $0$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Paso 9.8

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 9.9

Multiplica $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 9.9.1

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{4 \cdot 2})$

Paso 9.9.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{8})$

Paso 10

Sustituye $k = 1$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la regla del producto a $4 \sqrt{2}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Paso 10.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$k = 1 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Paso 10.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Paso 10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.4.1

Cancela el factor común.

$k = 1 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Paso 10.4.2

Reescribe la expresión.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Paso 10.5

Evalúa el exponente.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Paso 10.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π}{2})$

Paso 10.7

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π \cdot \frac{4}{4}}{2})$

Paso 10.8

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{2 π \cdot 4}{4}}{2})$

Paso 10.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 4}{4}}{2})$

Paso 10.10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.10.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π + 8 π}{4}}{2})$

Paso 10.10.2

Suma $π$ y $8 π$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{9 π}{4}}{2})$

Paso 10.11

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{9 π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 10.12

Multiplica $\frac{9 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 10.12.1

Multiplica $\frac{9 π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{9 π}{4 \cdot 2})$

Paso 10.12.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{9 π}{8})$

Paso 11

Enumera las soluciones.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{8})$

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{9 π}{8})$