Álgebra lineal Ejemplos

3 (cos (π) + i sin (π))

$3 (\cos (π) + i \sin (π))$

Paso 1

Calcula la distancia desde

(a, b)

$(a, b)$ hasta el origen mediante la fórmula

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

r = \sqrt{{(3 cos (π))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Paso 2

Simplifica

\sqrt{{(3 cos (π))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$\sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$ .

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Paso 2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

r = \sqrt{{(3 (- cos (0)))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 (- \cos (0)))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Paso 2.2

El valor exacto de

cos (0)

$\cos (0)$ es

1

$1$ .

r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Paso 2.3

Multiplica

3 (- 1 \cdot 1)

$3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Paso 2.3.2

Multiplica

3

$3$ por

- 1

$- 1$ .

r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Paso 2.4

Eleva

- 3

$- 3$ a la potencia de

2

$2$ .

r = \sqrt{9 + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Paso 2.5

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

r = \sqrt{9 + {(sin (0) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(\sin (0) \cdot 3)}^{2}}$

Paso 2.6

El valor exacto de

sin (0)

$\sin (0)$ es

0

$0$ .

r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}$

Paso 2.7

Multiplica

0

$0$ por

3

$3$ .

r = \sqrt{9 + 0^{2}}

$r = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Paso 2.8

Elevar

0

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

0

$0$ .

r = \sqrt{9 + 0}

$r = \sqrt{9 + 0}$

Paso 2.9

Suma

9

$9$ y

0

$0$ .

r = \sqrt{9}

$r = \sqrt{9}$

Paso 2.10

Reescribe

9

$9$ como

3^{2}

$3^{2}$ .

r = \sqrt{3^{2}}

$r = \sqrt{3^{2}}$

Paso 2.11

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

r = 3

$r = 3$

r = 3

$r = 3$

Paso 3

Calcula el ángulo de referencia

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{b}{a} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π) \cdot 3}{3 cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Paso 4

Simplifica

arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π) \cdot 3}{3 cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$\arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común de

3

$3$ .

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común.

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π) \cdot 3}{3 cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Paso 4.1.2

Reescribe la expresión.

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π)}{cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π)}{\cos (π)} |)$

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π)}{cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π)}{\cos (π)} |)$

Paso 4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (0)}{cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (0)}{\cos (π)} |)$

Paso 4.2.2

El valor exacto de

sin (0)

$\sin (0)$ es

0

$0$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{\cos (π)} |)$

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{\cos (π)} |)$

Paso 4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{- cos (0)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- \cos (0)} |)$

Paso 4.3.2

El valor exacto de

cos (0)

$\cos (0)$ es

1

$1$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{- 1 \cdot 1} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1 \cdot 1} |)$

Paso 4.3.3

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{- 1} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1} |)$

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{- 1} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1} |)$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1

Mueve el negativo del denominador de

\frac{0}{- 1}

$\frac{0}{- 1}$ .

θˆ = arctan (| - 1 \cdot 0 |)

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot 0 |)$

Paso 4.4.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

0

$0$ .

θˆ = arctan (| 0 |)

$θ̂ = \arctan (| 0 |)$

θˆ = arctan (| 0 |)

$θ̂ = \arctan (| 0 |)$

Paso 4.5

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre

0

$0$ y

0

$0$ es

0

$0$ .

θˆ = arctan (0)

$θ̂ = \arctan (0)$

Paso 4.6

El valor exacto de

arctan (0)

$\arctan (0)$ es

0

$0$ .

θˆ = 0

$θ̂ = 0$

θˆ = 0

$θ̂ = 0$

Paso 5

Obtén el cuadrante.

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Paso 5.1

(3 (- cos (0)), sin (π) \cdot 3)

$(3 (- \cos (0)), \sin (π) \cdot 3)$

Paso 5.2

El valor exacto de

cos (0)

$\cos (0)$ es

1

$1$ .

(3 (- 1 \cdot 1), sin (π) \cdot 3)

$(3 (- 1 \cdot 1), \sin (π) \cdot 3)$

Paso 5.3

Multiplica

3 (- 1 \cdot 1)

$3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 5.3.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

(3 \cdot - 1, sin (π) \cdot 3)

$(3 \cdot - 1, \sin (π) \cdot 3)$

Paso 5.3.2

Multiplica

3

$3$ por

- 1

$- 1$ .

(- 3, sin (π) \cdot 3)

$(- 3, \sin (π) \cdot 3)$

(- 3, sin (π) \cdot 3)

$(- 3, \sin (π) \cdot 3)$

Paso 5.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

(- 3, sin (0) \cdot 3)

$(- 3, \sin (0) \cdot 3)$

Paso 5.5

El valor exacto de

sin (0)

$\sin (0)$ es

0

$0$ .

(- 3, 0 \cdot 3)

$(- 3, 0 \cdot 3)$

Paso 5.6

Multiplica

0

$0$ por

3

$3$ .

(- 3, 0)

$(- 3, 0)$

Paso 5.7

Como la coordenada x es negativa y la coordenada y es

0

$0$ , el punto está ubicado en el eje x entre el segundo y tercer cuadrante. Los cuadrantes están etiquetados en sentido contrario a las agujas del reloj, con inicio en la esquina superior derecha.

Entre el cuadrante

2

$2$ y

3

$3$

Entre el cuadrante

2

$2$ y

3

$3$

Paso 6

Usa la fórmula para obtener las raíces del número complejo.

{(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

k = 0, 1, \dots, n - 1

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Paso 7

Sustituye

r

$r$ ,

n

$n$ y

θ

$θ$ en la fórmula.

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Paso 7.1

Combina

{(3)}^{\frac{1}{3}}

${(3)}^{\frac{1}{3}}$ y

\frac{θ + 2 π k}{3}

$\frac{θ + 2 π k}{3}$ .

c i s \frac{{(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}

$c i s \frac{{(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Paso 7.2

Combina

c

$c$ y

\frac{{(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}

$\frac{{(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$ .

i s \frac{c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}

$i s \frac{c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Paso 7.3

Combina

i

$i$ y

\frac{c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}

$\frac{c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$ .

s \frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}

$s \frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Paso 7.4

Combina

s

$s$ y

\frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}

$\frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$ .

\frac{s (i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}

$\frac{s (i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Paso 7.5

Elimina los paréntesis.

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Paso 7.5.1

Elimina los paréntesis.

\frac{s (i (c (3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}

$\frac{s (i (c (3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Paso 7.5.2

Elimina los paréntesis.

\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Paso 7.5.3

Elimina los paréntesis.

\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k))}{3}

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k))}{3}$

Paso 7.5.4

Elimina los paréntesis.

\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Paso 7.5.5

Elimina los paréntesis.

\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k)}{3}

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k)}{3}$

Paso 7.5.6

Elimina los paréntesis.

\frac{s (i c) \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}

$\frac{s (i c) \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Paso 7.5.7

Elimina los paréntesis.

\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Paso 8

Sustituye

k = 0

$k = 0$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 8.1

Elimina los paréntesis.

k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Paso 8.2

Multiplica

2 π (0)

$2 π (0)$ .

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Paso 8.2.1

Multiplica

0

$0$ por

2

$2$ .

k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0 π}{3})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0 π}{3})$

Paso 8.2.2

Multiplica

0

$0$ por

π

$π$ .

k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})$

k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})$

k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})$

Paso 9

Sustituye

k = 1

$k = 1$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 9.1

Elimina los paréntesis.

k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})

$k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Paso 9.2

Multiplica

2

$2$ por

1

$1$ .

k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π}{3})

$k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π}{3})

$k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

Paso 10

Sustituye

k = 2

$k = 2$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 10.1

Elimina los paréntesis.

k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})

$k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Paso 10.2

Multiplica

$2$ por

$2$ .

$k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$

Paso 11

Enumera las soluciones.

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})$

$k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

$k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$