Álgebra lineal Ejemplos

$4 i$

Paso 1

Calcula la distancia desde

$(a, b)$ hasta el origen mediante la fórmula

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{0^{2} + 4^{2}}$

Paso 2

Simplifica

$\sqrt{0^{2} + 4^{2}}$ .

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Paso 2.1

Elevar

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

$0$ .

$r = \sqrt{0 + 4^{2}}$

Paso 2.2

Eleva

$4$ a la potencia de

$2$ .

$r = \sqrt{0 + 16}$

Paso 2.3

Suma

$0$ y

$16$ .

$r = \sqrt{16}$

Paso 2.4

Reescribe

$16$ como

$4^{2}$ .

$r = \sqrt{4^{2}}$

Paso 2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = 4$

Paso 3

Calcula el ángulo de referencia

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{4}{0} |)$

Paso 4

La ecuación tiene una fracción indefinida.

Indefinida

Paso 5

Como la coordenada y es positiva y la coordenada x es

$0$ , el punto está ubicado en el eje y entre el primer y cuarto cuadrante. Los cuadrantes están etiquetados en sentido contrario a las agujas del reloj, con inicio en la esquina superior derecha.

Entre el cuadrante

$1$ y

$2$

Paso 6

Usa la fórmula para obtener las raíces del número complejo.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Paso 7

Sustituye

$r$ ,

$n$ y

$θ$ en la fórmula.

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Paso 7.1

Combina

${(4)}^{\frac{1}{2}}$ y

$\frac{θ + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Paso 7.2

Combina

$c$ y

$\frac{{(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$

Paso 7.3

Combina

$i$ y

$\frac{c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$

Paso 7.4

Combina

$s$ y

$\frac{i (c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}$

Paso 7.5

Elimina los paréntesis.

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Paso 7.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c (4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}$

Paso 7.5.2

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$

Paso 7.5.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c \cdot 4^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k))}{2}$

Paso 7.5.4

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$

Paso 7.5.5

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c \cdot 4^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k)}{2}$

Paso 7.5.6

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c) \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Paso 7.5.7

Elimina los paréntesis.

$\frac{s i c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Paso 8

Sustituye

$k = 0$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe

$4$ como

$2^{2}$ .

$k = 0 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Paso 8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Paso 8.3

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 8.3.1

Cancela el factor común.

$k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Paso 8.3.2

Reescribe la expresión.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Paso 8.4

Evalúa el exponente.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Paso 8.5

Multiplica

$2 π (0)$ .

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Paso 8.5.1

Multiplica

$0$ por

$2$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0 π}{2})$

Paso 8.5.2

Multiplica

$0$ por

$π$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{2})$

Paso 9

Sustituye

$k = 1$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe

$4$ como

$2^{2}$ .

$k = 1 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Paso 9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 2^{2 (\frac{1}{2})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Paso 9.3

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común.

$k = 1 : 2^{2 (\frac{1}{2})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Paso 9.3.2

Reescribe la expresión.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Paso 9.4

Evalúa el exponente.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Paso 9.5

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$

Paso 10

Enumera las soluciones.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{2})$

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$