Álgebra lineal Ejemplos

[\begin{matrix} \frac{1}{9} & 6 \frac{1}{3} & 27 \end{matrix}] \cdot B = [\begin{matrix} - 10 & 7 - 48 & 30 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}] \cdot B = [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Paso 1

Obtén la inversa de

[\begin{matrix} \frac{1}{9} & 6 \frac{1}{3} & 27 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

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Paso 1.1

La inversa de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse mediante la fórmula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ , en la que

a d - b c

$a d - b c$ es el determinante.

Paso 1.2

Obtén el determinante.

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Paso 1.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

\frac{1}{9} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 6

$\frac{1}{9} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 6$

Paso 1.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común de

9

$9$ .

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Paso 1.2.2.1.1.1

Factoriza

9

$9$ de

27

$27$ .

\frac{1}{9} \cdot (9 (3)) - \frac{1}{3} \cdot 6

$\frac{1}{9} \cdot (9 (3)) - \frac{1}{3} \cdot 6$

Paso 1.2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{9} \cdot (9 \cdot 3) - \frac{1}{3} \cdot 6$

Paso 1.2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$3 - \frac{1}{3} \cdot 6$

Paso 1.2.2.1.2

Cancela el factor común de

$3$ .

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Paso 1.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en

$- \frac{1}{3}$ al numerador.

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot 6$

Paso 1.2.2.1.2.2

Factoriza

$3$ de

$6$ .

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 (2))$

Paso 1.2.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Paso 1.2.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$3 - 1 \cdot 2$

Paso 1.2.2.1.3

Multiplica

$- 1$ por

$2$ .

$3 - 2$

Paso 1.2.2.2

Resta

$2$ de

$3$ .

$1$

Paso 1.3

Como el determinante no es nulo, existe el inverso.

Paso 1.4

Sustituye los valores conocidos en la fórmula para la inversa.

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Paso 1.5

Divide

$1$ por

$1$ .

$1 [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Paso 1.6

Multiplica

$1$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 27 & 1 \cdot - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Paso 1.7

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.7.1

Multiplica

$27$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & 1 \cdot - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Paso 1.7.2

Multiplica

$- 6$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Paso 1.7.3

Multiplica

$- \frac{1}{3}$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Paso 1.7.4

Multiplica

$\frac{1}{9}$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Paso 2

Multiplica ambos lados por la inversa de

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Paso 3

Simplifica la ecuación.

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Paso 3.1

Multiplica

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

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Paso 3.1.1

Dos matrices pueden multiplicarse solo si el número de columnas en la primera matriz es igual al número de filas en la segunda matriz. En este caso, la primera matriz es

$2 \times 2$ y la segunda matriz es

$2 \times 2$ .

Paso 3.1.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} 27 (\frac{1}{9}) - 6 (\frac{1}{3}) & 27 \cdot 6 - 6 \cdot 27 \\ - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 6 + \frac{1}{9} \cdot 27 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Paso 3.1.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Paso 3.2

Multiplicar una matriz de identidades por cualquier matriz

$A$ es la matriz

$A$ en sí misma.

$B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Paso 3.3

Multiplica

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$ .

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Paso 3.3.1

Dos matrices pueden multiplicarse solo si el número de columnas en la primera matriz es igual al número de filas en la segunda matriz. En este caso, la primera matriz es

$2 \times 2$ y la segunda matriz es

$2 \times 2$ .

Paso 3.3.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$B = [\begin{array}{c} 27 \cdot - 10 - 6 \cdot - 48 & 27 \cdot 7 - 6 \cdot 30 \\ - \frac{1}{3} \cdot - 10 + \frac{1}{9} \cdot - 48 & - \frac{1}{3} \cdot 7 + \frac{1}{9} \cdot 30 \end{array}]$

Paso 3.3.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$B = [\begin{array}{c} 18 & 9 \\ - 2 & 1 \end{array}]$