Álgebra lineal Ejemplos

$5 x + 3 = 4 y$ , $y = 8 x - 2$

Paso 1

Mueve todas las variables al lado izquierdo de cada ecuación.

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Paso 1.1

Resta $4 y$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x + 3 - 4 y = 0$

$y = 8 x - 2$

Paso 1.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x - 4 y = - 3$

$y = 8 x - 2$

Paso 1.3

Resta $8 x$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x - 4 y = - 3$

$y - 8 x = - 2$

Paso 1.4

Reordena $y$ y $- 8 x$ .

$5 x - 4 y = - 3$

$- 8 x + y = - 2$

$5 x - 4 y = - 3$

$- 8 x + y = - 2$

Paso 2

Representa el sistema de ecuaciones en el formato de la matriz.

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$

Paso 3

Obtén el determinante de la matriz coeficiente $[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ .

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Paso 3.1

Escribe $[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ en la notación determinante.

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array} |$

Paso 3.2

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot 1 - (- 8 \cdot - 4)$

Paso 3.3

Simplifica el determinante.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 - (- 8 \cdot - 4)$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $- (- 8 \cdot - 4)$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Multiplica $- 8$ por $- 4$ .

$5 - 1 \cdot 32$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $32$ .

$5 - 32$

Paso 3.3.2

Resta $32$ de $5$ .

$- 27$

$D = - 27$

Paso 4

Como el determinante no es $0$ , se puede resolver el sistema con la regla de Cramer.

Paso 5

Obtén el valor de $x$ con la regla de Cramer, que establece que $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la columna $1$ de la matriz del coeficiente que corresponde a los coeficientes de $x$ del sistema con $[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2

Obtén el determinante.

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Paso 5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 4)$

Paso 5.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3 - (- 2 \cdot - 4)$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $- (- 2 \cdot - 4)$ .

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Paso 5.2.2.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$- 3 - 1 \cdot 8$

Paso 5.2.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- 3 - 8$

Paso 5.2.2.2

Resta $8$ de $- 3$ .

$- 11$

$D_{x} = - 11$

Paso 5.3

Usa la fórmula para resolver $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Paso 5.4

Sustituye $- 27$ por $D$ y $- 11$ por $D_{x}$ en la fórmula.

$x = \frac{- 11}{- 27}$

Paso 5.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{11}{27}$

Paso 6

Obtén el valor de $y$ con la regla de Cramer, que establece que $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la columna $2$ de la matriz del coeficiente que corresponde a los coeficientes de $y$ del sistema con $[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 5 & - 3 \\ - 8 & - 2 \end{array} |$

Paso 6.2

Obtén el determinante.

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Paso 6.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 2 - (- 8 \cdot - 3)$

Paso 6.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$- 10 - (- 8 \cdot - 3)$

Paso 6.2.2.1.2

Multiplica $- (- 8 \cdot - 3)$ .

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Paso 6.2.2.1.2.1

Multiplica $- 8$ por $- 3$ .

$- 10 - 1 \cdot 24$

Paso 6.2.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $24$ .

$- 10 - 24$

Paso 6.2.2.2

Resta $24$ de $- 10$ .

$- 34$

$D_{y} = - 34$

Paso 6.3

Usa la fórmula para resolver $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Paso 6.4

Sustituye $- 27$ por $D$ y $- 34$ por $D_{y}$ en la fórmula.

$y = \frac{- 34}{- 27}$

Paso 6.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{34}{27}$

Paso 7

Enumera la solución del sistema de ecuaciones.

$x = \frac{11}{27}$

$y = \frac{34}{27}$