Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 \\ 6 & 0 & - 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1

Obtén el determinante.

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Paso 1.1

Elige la fila o columna con más elementos $0$ . Si no hay elementos $0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la columna $2$ por su cofactor y suma.

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Paso 1.1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición $-$ en el cuadro de signos.

Paso 1.1.3

El elemento menor de $a_{12}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Paso 1.1.4

Multiplica el elemento $a_{12}$ por su cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Paso 1.1.5

El elemento menor de $a_{22}$ es la determinante con la fila $2$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Paso 1.1.6

Multiplica el elemento $a_{22}$ por su cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Paso 1.1.7

El elemento menor de $a_{32}$ es la determinante con la fila $3$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Paso 1.1.8

Multiplica el elemento $a_{32}$ por su cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Paso 1.1.9

Suma los términos juntos.

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Paso 1.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Paso 1.3

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0$

Paso 1.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

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Paso 1.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (6 \cdot 0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

Paso 1.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.1.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$1 (0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

Paso 1.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$1 (0 + 2) + 0 + 0$

Paso 1.4.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

Paso 1.5

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 0 + 0$

Paso 1.5.2

Suma $2$ y $0$ .

$2 + 0$

Paso 1.5.3

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2

Como el determinante no es nulo, existe el inverso.

Paso 3

Establece la matriz $3 \times 6$ donde la mitad izquierda es la matriz original y la mitad derecha es su matriz de identidades.

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 4

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 4.1

Intercambia $R_{2}$ por $R_{1}$ para poner una entrada que no sea cero en $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 4.2

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{6}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

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Paso 4.2.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{6}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{- 2}{6} & \frac{0}{6} & \frac{1}{6} & \frac{0}{6} \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 4.3

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

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Paso 4.3.1

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + \frac{1}{3} & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{6} & 1 - 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Paso 4.4

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $- 1$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

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Paso 4.4.1

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $- 1$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 4 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Paso 4.4.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Paso 4.5

Multiplica cada elemento de $R_{3}$ por $3$ para hacer que la entrada en $3, 3$ sea $1$ .

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Paso 4.5.1

Multiplica cada elemento de $R_{3}$ por $3$ para hacer que la entrada en $3, 3$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 (\frac{1}{3}) & 3 \cdot 0 & 3 (- \frac{1}{6}) & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.5.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Paso 4.6

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ para hacer que la entrada en $2, 3$ sea $0$ .

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Paso 4.6.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ para hacer que la entrada en $2, 3$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 \cdot 0 & 0 + 4 (- \frac{1}{2}) & 0 + 4 \cdot 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Paso 4.6.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Paso 4.7

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ para hacer que la entrada en $1, 3$ sea $0$ .

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Paso 4.7.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ para hacer que la entrada en $1, 3$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{6} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2}) & 0 + \frac{1}{3} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Paso 4.7.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Paso 5

La mitad derecha de la forma escalonada de fila reducida es la inversa.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$