Álgebra lineal Ejemplos

$1 + i$

Paso 1

Calcula la distancia desde $(a, b)$ hasta el origen mediante la fórmula $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{1^{2} + 1^{2}}$

Paso 2

Simplifica $\sqrt{1^{2} + 1^{2}}$ .

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Paso 2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$r = \sqrt{1 + 1^{2}}$

Paso 2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$r = \sqrt{1 + 1}$

Paso 2.3

Suma $1$ y $1$ .

$r = \sqrt{2}$

Paso 3

Calcula el ángulo de referencia $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{1}{1} |)$

Paso 4

Simplifica $\arctan (| \frac{1}{1} |)$ .

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Paso 4.1

Divide $1$ por $1$ .

$θ̂ = \arctan (| 1 |)$

Paso 4.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$θ̂ = \arctan (1)$

Paso 4.3

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$θ̂ = \frac{π}{4}$

Paso 5

El punto se ubica en el primer cuadrante porque tanto $x$ como $y$ son positivas. Los cuadrantes están etiquetados en sentido contrario a las agujas del reloj, con inicio en la esquina superior derecha.

Cuadrante $1$

Paso 6

$(a, b)$ está en el primer cuadrante. $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{4}$

Paso 7

Usa la fórmula para obtener las raíces del número complejo.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Paso 8

Sustituye $r$ , $n$ y $θ$ en la fórmula.

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Paso 8.1

Combina ${(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}$ y $\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{3}$

Paso 8.2

Combina $c$ y $\frac{{(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{3}$

Paso 8.3

Combina $i$ y $\frac{c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{3}$

Paso 8.4

Combina $s$ y $\frac{i (c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))))}{3}$

Paso 8.5

Elimina los paréntesis.

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Paso 8.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c ({\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))))}{3}$

Paso 8.5.2

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c ({\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k))))}{3}$

Paso 8.5.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)))}{3}$

Paso 8.5.4

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{4} + 2 π k))}{3}$

Paso 8.5.5

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k))}{3}$

Paso 8.5.6

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

Paso 8.5.7

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c) {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

Paso 8.5.8

Elimina los paréntesis.

$\frac{s i c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

Paso 9

Sustituye $k = 0$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 9.1

Elimina los paréntesis.

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{3})$

Paso 9.2

Multiplica $2 π (0)$ .

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Paso 9.2.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0 π}{3})$

Paso 9.2.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0}{3})$

Paso 9.3

Suma $\frac{π}{4}$ y $0$ .

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4}}{3})$

Paso 9.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 9.5

Multiplica $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 9.5.1

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{3}$ .

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{4 \cdot 3})$

Paso 9.5.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{12})$

Paso 10

Sustituye $k = 1$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 10.1

Elimina los paréntesis.

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{3})$

Paso 10.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π}{3})$

Paso 10.3

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

Paso 10.4

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{2 π \cdot 4}{4}}{3})$

Paso 10.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 4}{4}}{3})$

Paso 10.6

Simplifica el numerador.

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Paso 10.6.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 8 π}{4}}{3})$

Paso 10.6.2

Suma $π$ y $8 π$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{9 π}{4}}{3})$

Paso 10.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{9 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 10.8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.8.1

Factoriza $3$ de $9 π$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (3 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 10.8.2

Cancela el factor común.

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (3 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 10.8.3

Reescribe la expresión.

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 π}{4})$

Paso 11

Sustituye $k = 2$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (2)}{3})$

Paso 11.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 4 π}{3})$

Paso 11.3

Para escribir $4 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 4 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

Paso 11.4

Combina $4 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{4 π \cdot 4}{4}}{3})$

Paso 11.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 4}{4}}{3})$

Paso 11.6

Simplifica el numerador.

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Paso 11.6.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 16 π}{4}}{3})$

Paso 11.6.2

Suma $π$ y $16 π$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{17 π}{4}}{3})$

Paso 11.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 11.8

Multiplica $\frac{17 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 11.8.1

Multiplica $\frac{17 π}{4}$ por $\frac{1}{3}$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{4 \cdot 3})$

Paso 11.8.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{12})$

Paso 12

Enumera las soluciones.

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{12})$

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 π}{4})$

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{12})$