Matemática discreta Ejemplos

$\frac{1}{4} x^{2} - 2 x + 3 \leq 0$

Paso 1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 3 \leq 0$

Paso 2

Multiplica cada término en $\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 3 \leq 0$ por $4$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 3 \leq 0$ por $4$ .

$\frac{x^{2}}{4} \cdot 4 - 2 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2}}{4} \cdot 4 - 2 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

Paso 2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 2 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$x^{2} - 8 x + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$x^{2} - 8 x + 12 \leq 0 \cdot 4$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Multiplica $0$ por $4$ .

$x^{2} - 8 x + 12 \leq 0$

Paso 3

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 8 x + 12 = 0$

Paso 4

Factoriza $x^{2} - 8 x + 12$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $- 8$ .

$- 6, - 2$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 6) (x - 2) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 6

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 6.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 7

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 7.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 6) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 6, 2$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 2$

$2 < x < 6$

$x > 6$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{4} \cdot {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 3 \leq 0$

Paso 10.1.3

$3$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{4} \cdot {(4)}^{2} - 2 \cdot 4 + 3 \leq 0$

Paso 10.2.3

$- 1$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{4} \cdot {(8)}^{2} - 2 \cdot 8 + 3 \leq 0$

Paso 10.3.3

$3$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$2 \leq x \leq 6$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$2 \leq x \leq 6$

Notación de intervalo:

$[2, 6]$

Paso 13