Matemática discreta Ejemplos

$8 + \frac{3}{y} > \frac{19}{y}$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$(8 + \frac{3}{y}) y = \frac{19}{y} y$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Simplifica $(8 + \frac{3}{y}) y$ .

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Paso 2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 y + \frac{3}{y} y = \frac{19}{y} y$

Paso 2.1.1.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$8 y + \frac{3}{y} y = \frac{19}{y} y$

Paso 2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$8 y + 3 = \frac{19}{y} y$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$8 y + 3 = \frac{19}{y} y$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$8 y + 3 = 19$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$8 y = 19 - 3$

Paso 3.1.2

Resta $3$ de $19$ .

$8 y = 16$

Paso 3.2

Divide cada término en $8 y = 16$ por $8$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $8 y = 16$ por $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{16}{8}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 y}{8} = \frac{16}{8}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{16}{8}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Divide $16$ por $8$ .

$y = 2$

Paso 4

Obtén el dominio de $8 - \frac{16}{y}$ .

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{16}{y}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$y = 0$

Paso 4.2

El dominio son todos los valores de $y$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$y < 0$

$0 < y < 2$

$y > 2$

Paso 6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.1

Prueba un valor en el intervalo $y < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.1.1

Elije un valor en el intervalo $y < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = - 2$

Paso 6.1.2

Reemplaza $y$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$8 + \frac{3}{- 2} > \frac{19}{- 2}$

Paso 6.1.3

$6.5$ del lado izquierdo es mayor que $- 9.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < y < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < y < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = 1$

Paso 6.2.2

Reemplaza $y$ con $1$ en la desigualdad original.

$8 + \frac{3}{1} > \frac{19}{1}$

Paso 6.2.3

$11$ del lado izquierdo no es mayor que $19$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.3

Prueba un valor en el intervalo $y > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.3.1

Elije un valor en el intervalo $y > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = 4$

Paso 6.3.2

Reemplaza $y$ con $4$ en la desigualdad original.

$8 + \frac{3}{4} > \frac{19}{4}$

Paso 6.3.3

$8.75$ del lado izquierdo es mayor que $4.75$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$y < 0$ Verdadero

$0 < y < 2$ Falso

$y > 2$ Verdadero

$y < 0$ Verdadero

$0 < y < 2$ Falso

$y > 2$ Verdadero

Paso 7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$y < 0$ o $y > 2$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$y < 0 or y > 2$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (2, \infty)$

Paso 9