Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt{1 + \sqrt{x}} \sqrt{1 - \sqrt{x}} \sqrt{1 - \sqrt{x}}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x < 0$

Paso 2

Establece el radicando en $\sqrt{1 + \sqrt{x}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$1 + \sqrt{x} < 0$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$\sqrt{x} < - 1$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{x}}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(- 1)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(- 1)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} < {(- 1)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$x < {(- 1)}^{2}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x < 1$

Paso 3.4

Obtén el dominio de $1 + \sqrt{x}$ .

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Paso 3.4.1

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 3.4.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

Paso 3.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Paso 3.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 3.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 3.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$1 + \sqrt{- 2} < 0$

Paso 3.6.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 3.6.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.5$

Paso 3.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0.5$ en la desigualdad original.

$1 + \sqrt{0.5} < 0$

Paso 3.6.2.3

$1.70710678$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 3.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 3.6.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$1 + \sqrt{4} < 0$

Paso 3.6.3.3

$3$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 3.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Falso

Paso 3.7

Como no hay números que estén dentro del intervalo, esta desigualdad no tiene solución.

No hay solución

Paso 4

Establece el radicando en $\sqrt{1 - \sqrt{x}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$1 - \sqrt{x} < 0$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$- \sqrt{x} < - 1$

Paso 5.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${(- \sqrt{x})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 5.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica ${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.3

Multiplica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} < {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.5

Simplifica.

$x < {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x < 1$

Paso 5.4

Obtén el dominio de $1 - \sqrt{x}$ .

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Paso 5.4.1

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 5.4.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

Paso 5.5

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x > 1$

Paso 6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x < 0, x > 1$

$(- \infty, 0) \cup (1, \infty)$

Paso 7