Matemática discreta Ejemplos

$y = \sqrt{x + 1}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{y + 1}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{y + 1} = x$ .

$\sqrt{y + 1} = x$

Paso 2.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y + 1}}^{2} = x^{2}$

Paso 2.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 1}$ como ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y + 1)}^{1} = x^{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Simplifica.

$y + 1 = x^{2}$

Paso 2.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x^{2} - 1$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{x + 1}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{x + 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = {(\sqrt{x + 1})}^{2} - 1$

Paso 4.2.3

Reescribe ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ como $x + 1$ .

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Paso 4.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1$

Paso 4.2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1$

Paso 4.2.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

Paso 4.2.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

Paso 4.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = (x + 1) - 1$

Paso 4.2.3.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = x + 1 - 1$

Paso 4.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 1 - 1$ .

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Paso 4.2.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = x + 0$

Paso 4.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (x^{2} - 1)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{2} - 1) = \sqrt{(x^{2} - 1) + 1}$

Paso 4.3.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (x^{2} - 1) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Paso 4.3.4

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$f (x^{2} - 1) = \sqrt{x^{2}}$

Paso 4.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (x^{2} - 1) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$