Matemática discreta Ejemplos

$y = \frac{1}{- 8 x + 1}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{- 8 y + 1}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{- 8 y + 1} = x$ .

$\frac{1}{- 8 y + 1} = x$

Paso 2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$- 8 y + 1, 1$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$- 8 y + 1, 1$

Paso 2.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$- 8 y + 1$

Paso 2.3

Multiplica cada término en $\frac{1}{- 8 y + 1} = x$ por $- 8 y + 1$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{- 8 y + 1} = x$ por $- 8 y + 1$ .

$\frac{1}{- 8 y + 1} (- 8 y + 1) = x (- 8 y + 1)$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{- 8 y + 1}$ por $- 8 y + 1$ .

$\frac{- 8 y + 1}{- 8 y + 1} = x (- 8 y + 1)$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 8 y + 1$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 8 y + 1}{- 8 y + 1} = x (- 8 y + 1)$

Paso 2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 = x (- 8 y + 1)$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = x (- 8 y) + x \cdot 1$

Paso 2.3.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = - 8 x y + x \cdot 1$

Paso 2.3.3.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$1 = - 8 x y + x$

Paso 2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.1

Reescribe la ecuación como $- 8 x y + x = 1$ .

$- 8 x y + x = 1$

Paso 2.4.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 8 x y = 1 - x$

Paso 2.4.3

Divide cada término en $- 8 x y = 1 - x$ por $- 8 x$ y simplifica.

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Paso 2.4.3.1

Divide cada término en $- 8 x y = 1 - x$ por $- 8 x$ .

$\frac{- 8 x y}{- 8 x} = \frac{1}{- 8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Paso 2.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.3.2.1

Cancela el factor común de $- 8$ .

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Paso 2.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 8 x y}{- 8 x} = \frac{1}{- 8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Paso 2.4.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{- 8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Paso 2.4.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.4.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{- 8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Paso 2.4.3.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{- 8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Paso 2.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Paso 2.4.3.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.4.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = - \frac{1}{8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Paso 2.4.3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{1}{8 x} + \frac{- 1}{- 8}$

Paso 2.4.3.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = - \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{- 8 x + 1}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = - \frac{1}{8 (\frac{1}{- 8 x + 1})} + \frac{1}{8}$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Combina $8$ y $\frac{1}{- 8 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = - \frac{1}{\frac{8}{- 8 x + 1}} + \frac{1}{8}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = - (1 (\frac{- 8 x + 1}{8})) + \frac{1}{8}$

Paso 4.2.3.3

Multiplica $\frac{- 8 x + 1}{8}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = - \frac{- 8 x + 1}{8} + \frac{1}{8}$

Paso 4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{- (- 8 x + 1) + 1}{8}$

Paso 4.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 1 + 1}{8}$

Paso 4.2.5.2

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{8 x - 1 \cdot 1 + 1}{8}$

Paso 4.2.5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{8 x - 1 + 1}{8}$

Paso 4.2.6

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.6.1

Combina los términos opuestos en $8 x - 1 + 1$ .

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Paso 4.2.6.1.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{8 x + 0}{8}$

Paso 4.2.6.1.2

Suma $8 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{8 x}{8}$

Paso 4.2.6.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 4.2.6.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{8 x}{8}$

Paso 4.2.6.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 8 (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) + 1}$

Paso 4.3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 8 (- \frac{1}{8 x}) - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Paso 4.3.3.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 4.3.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{8 x}$ al numerador.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 8 \frac{- 1}{8 x} - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Paso 4.3.3.2.2

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{8 (- 1) (\frac{- 1}{8 x}) - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Paso 4.3.3.2.3

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{8 (- 1) (\frac{- 1}{8 (x)}) - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Paso 4.3.3.2.4

Cancela el factor común.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{8 \cdot (- 1 \frac{- 1}{8 x}) - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Paso 4.3.3.2.5

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 1 \frac{- 1}{x} - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Paso 4.3.3.3

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 4.3.3.3.1

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 1 \frac{- 1}{x} + 8 (- 1) (\frac{1}{8}) + 1}$

Paso 4.3.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 1 \frac{- 1}{x} + 8 \cdot (- 1 (\frac{1}{8})) + 1}$

Paso 4.3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 1 \frac{- 1}{x} - 1 + 1}$

Paso 4.3.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 1 (- \frac{1}{x}) - 1 + 1}$

Paso 4.3.3.4.2

Multiplica $- 1 (- \frac{1}{x})$ .

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Paso 4.3.3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{1 (\frac{1}{x}) - 1 + 1}$

Paso 4.3.3.4.2.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{\frac{1}{x} - 1 + 1}$

Paso 4.3.3.5

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Paso 4.3.3.6

Suma $\frac{1}{x}$ y $0$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Paso 4.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = 1 x$

Paso 4.3.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{- 8 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}$