Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$

Paso 1

Escribe $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ como una ecuación.

$y = \log_{2} (x - 8) + 5$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \log_{2} (y - 8) + 5$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\log_{2} (y - 8) + 5 = x$ .

$\log_{2} (y - 8) + 5 = x$

Paso 3.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$\log_{2} (y - 8) = x - 5$

Paso 3.3

Reescribe $\log_{2} (y - 8) = x - 5$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{x - 5} = y - 8$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $y - 8 = 2^{x - 5}$ .

$y - 8 = 2^{x - 5}$

Paso 3.4.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2^{x - 5} + 8$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$ es la inversa de $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{(\log_{2} (x - 8) + 5) - 5} + 8$

Paso 5.2.3

Combina los términos opuestos en $2^{(\log_{2} (x - 8) + 5) - 5} + 8$ .

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Paso 5.2.3.1

Resta $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{\log_{2} (x - 8) + 0} + 8$

Paso 5.2.3.2

Suma $\log_{2} (x - 8)$ y $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{\log_{2} (x - 8)} + 8$

Paso 5.2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x - 8 + 8$

Paso 5.2.5

Combina los términos opuestos en $x - 8 + 8$ .

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Paso 5.2.5.1

Suma $- 8$ y $8$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x + 0$

Paso 5.2.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (2^{x - 5} + 8)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} ((2^{x - 5} + 8) - 8) + 5$

Paso 5.3.3

Combina los términos opuestos en $\log_{2} ((2^{x - 5} + 8) - 8) + 5$ .

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Paso 5.3.3.1

Resta $8$ de $8$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} (2^{x - 5} + 0) + 5$

Paso 5.3.3.2

Suma $2^{x - 5}$ y $0$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} (2^{x - 5}) + 5$

Paso 5.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.4.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $x - 5$ fuera del exponente.

$f (2^{x - 5} + 8) = (x - 5) \log_{2} (2) + 5$

Paso 5.3.4.2

El logaritmo en base $2$ de $2$ es $1$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = (x - 5) \cdot 1 + 5$

Paso 5.3.4.3

Multiplica $x - 5$ por $1$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = x - 5 + 5$

Paso 5.3.5

Combina los términos opuestos en $x - 5 + 5$ .

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Paso 5.3.5.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = x + 0$

Paso 5.3.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$ es la inversa de $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ .

$f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$