Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = k x^{- 2}$

Paso 1

Escribe $f (x) = k x^{- 2}$ como una ecuación.

$y = k x^{- 2}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$k = y x^{- 2}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $y x^{- 2} = k$ .

$y x^{- 2} = k$

Paso 3.2

Divide cada término en $y x^{- 2} = k$ por $x^{- 2}$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $y x^{- 2} = k$ por $x^{- 2}$ .

$\frac{y x^{- 2}}{x^{- 2}} = \frac{k}{x^{- 2}}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{- 2}$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y x^{- 2}}{x^{- 2}} = \frac{k}{x^{- 2}}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{k}{x^{- 2}}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Mueve $x^{- 2}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$y = k x^{2}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (k)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (k) = k x^{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (k) = k x^{2}$ es la inversa de $f (k) = k x^{- 2}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (k)) = k$ y $f (f^{- 1} (k)) = k$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (k))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (k))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (k x^{- 2})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (k x^{- 2}) = (k x^{- 2}) \cdot x^{2}$

Paso 5.2.3

Multiplica $x^{- 2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.3.1

Mueve $x^{2}$ .

$f^{- 1} (k x^{- 2}) = k (x^{2} x^{- 2})$

Paso 5.2.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (k x^{- 2}) = k x^{2 - 2}$

Paso 5.2.3.3

Resta $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (k x^{- 2}) = k x^{0}$

Paso 5.2.4

Simplifica $k x^{0}$ .

$f^{- 1} (k x^{- 2}) = k$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (k))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (k))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (k x^{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (k x^{2}) = (k x^{2}) \cdot x^{- 2}$

Paso 5.3.3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.3.1

Mueve $x^{- 2}$ .

$f (k x^{2}) = k (x^{- 2} x^{2})$

Paso 5.3.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (k x^{2}) = k x^{- 2 + 2}$

Paso 5.3.3.3

Suma $- 2$ y $2$ .

$f (k x^{2}) = k x^{0}$

Paso 5.3.4

Simplifica $k x^{0}$ .

$f (k x^{2}) = k$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (k)) = k$ y $f (f^{- 1} (k)) = k$ , entonces $f^{- 1} (k) = k x^{2}$ es la inversa de $f (k) = k x^{- 2}$ .

$f^{- 1} (k) = k x^{2}$