Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{- 2}{x} - 1$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{- 2}{x} - 1$ como una ecuación.

$y = \frac{- 2}{x} - 1$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{- 2}{y} - 1$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{- 2}{y} - 1 = x$ .

$\frac{- 2}{y} - 1 = x$

Paso 3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{- 2}{y} = x + 1$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{y} = x + 1$

Paso 3.4

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.4.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1, 1$

Paso 3.4.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 3.5

Multiplica cada término en $- \frac{2}{y} = x + 1$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.5.1

Multiplica cada término en $- \frac{2}{y} = x + 1$ por $y$ .

$- \frac{2}{y} y = x y + 1 y$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{y}$ al numerador.

$\frac{- 2}{y} y = x y + 1 y$

Paso 3.5.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 2}{y} y = x y + 1 y$

Paso 3.5.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 2 = x y + 1 y$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Multiplica $y$ por $1$ .

$- 2 = x y + y$

Paso 3.6

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.6.1

Reescribe la ecuación como $x y + y = - 2$ .

$x y + y = - 2$

Paso 3.6.2

Factoriza $y$ de $x y + y$ .

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Paso 3.6.2.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$y x + y = - 2$

Paso 3.6.2.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y x + y = - 2$

Paso 3.6.2.3

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y x + y \cdot 1 = - 2$

Paso 3.6.2.4

Factoriza $y$ de $y x + y \cdot 1$ .

$y (x + 1) = - 2$

Paso 3.6.3

Divide cada término en $y (x + 1) = - 2$ por $x + 1$ y simplifica.

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Paso 3.6.3.1

Divide cada término en $y (x + 1) = - 2$ por $x + 1$ .

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2}{x + 1}$

Paso 3.6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.3.2.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 3.6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2}{x + 1}$

Paso 3.6.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 2}{x + 1}$

Paso 3.6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{2}{x + 1}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2}{x + 1}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{2}{x + 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{- 2}{x} - 1$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - \frac{2}{(\frac{- 2}{x} - 1) + 1}$

Paso 5.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.3.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - \frac{2}{\frac{- 2}{x} + 0}$

Paso 5.2.3.2

Suma $\frac{- 2}{x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - \frac{2}{\frac{- 2}{x}}$

Paso 5.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - \frac{2}{- \frac{2}{x}}$

Paso 5.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - (2 (- \frac{x}{2}))$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{2}$ al numerador.

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - (2 (\frac{- x}{2}))$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - (2 (\frac{- x}{2}))$

Paso 5.2.5.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (- \frac{2}{x + 1})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \frac{2}{x + 1}) = \frac{- 2}{- \frac{2}{x + 1}} - 1$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{2}{x + 1}) = - 2 (- \frac{x + 1}{2}) - 1$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x + 1}{2}$ al numerador.

$f (- \frac{2}{x + 1}) = - 2 \frac{- (x + 1)}{2} - 1$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (- \frac{2}{x + 1}) = 2 (- 1) (\frac{- (x + 1)}{2}) - 1$

Paso 5.3.3.2.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2}{x + 1}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- (x + 1)}{2}) - 1$

Paso 5.3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2}{x + 1}) = (x + 1) - 1$

Paso 5.3.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{2}{x + 1}) = 1 (x + 1) - 1$

Paso 5.3.3.4

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$f (- \frac{2}{x + 1}) = x + 1 - 1$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 1 - 1$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (- \frac{2}{x + 1}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (- \frac{2}{x + 1}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{2}{x + 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{- 2}{x} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2}{x + 1}$