Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{5} + 2}{7}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x^{5} + 2}{7}$ como una ecuación.

$y = \frac{x^{5} + 2}{7}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y^{5} + 2}{7}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y^{5} + 2}{7} = x$ .

$\frac{y^{5} + 2}{7} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $7$ .

$7 \frac{y^{5} + 2}{7} = 7 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$7 \frac{y^{5} + 2}{7} = 7 x$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{5} + 2 = 7 x$

Paso 3.4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{5} = 7 x - 2$

Paso 3.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[5]{7 x - 2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{7 x - 2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{7 x - 2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x^{5} + 2}{7}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x^{5} + 2}{7})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} + 2}{7}) = \sqrt[5]{7 (\frac{x^{5} + 2}{7}) - 2}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} + 2}{7}) = \sqrt[5]{7 (\frac{x^{5} + 2}{7}) - 2}$

Paso 5.2.3.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} + 2}{7}) = \sqrt[5]{x^{5} + 2 - 2}$

Paso 5.2.4

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 5.2.4.1

Resta $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} + 2}{7}) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

Paso 5.2.4.2

Suma $x^{5}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} + 2}{7}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Paso 5.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} + 2}{7}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\sqrt[5]{7 x - 2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{{(\sqrt[5]{7 x - 2})}^{5} + 2}{7}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{7 x - 2}$ como ${(7 x - 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{{({(7 x - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5} + 2}{7}$

Paso 5.3.3.2

Multiplica los exponentes en ${({(7 x - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{{(7 x - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 2}{7}$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{{(7 x - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 2}{7}$

Paso 5.3.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{(7 x - 2) + 2}{7}$

Paso 5.3.3.3

Simplifica.

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{7 x - 2 + 2}{7}$

Paso 5.3.3.4

Suma $- 2$ y $2$ .

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{7 x + 0}{7}$

Paso 5.3.3.5

Suma $7 x$ y $0$ .

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{7 x}{7}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{7 x}{7}$

Paso 5.3.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{7 x - 2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x^{5} + 2}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{7 x - 2}$