Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ como una ecuación.

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y^{2}}{y^{2} - 1}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica la ecuación por $y^{2} - 1$ .

$(y^{2} - 1) (x) = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica $(y^{2} - 1) (x)$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} x - 1 x = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Paso 3.2.1.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y^{2} x - x = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica $(\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$ .

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Paso 3.3.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2}}{y^{2} - 1^{2}} (y^{2} - 1)$

Paso 3.3.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2}}{(y + 1) (y - 1)} (y^{2} - 1)$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $\frac{y^{2}}{(y + 1) (y - 1)}$ por $y^{2} - 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y^{2} - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Paso 3.3.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y^{2} - 1^{2})}{(y + 1) (y - 1)}$

Paso 3.3.1.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Paso 3.3.1.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.3.1.4.1

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 3.3.1.4.1.1

Cancela el factor común.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Paso 3.3.1.4.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y - 1)}{y - 1}$

Paso 3.3.1.4.2

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 3.3.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y - 1)}{y - 1}$

Paso 3.3.1.4.2.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} x - x = y^{2}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} x - x - y^{2} = 0$

Paso 3.4.2

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} x - y^{2} = x$

Paso 3.4.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} x - y^{2}$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} x$ .

$y^{2} (x) - y^{2} = x$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $y^{2}$ de $- y^{2}$ .

$y^{2} (x) + y^{2} \cdot - 1 = x$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} (x) + y^{2} \cdot - 1$ .

$y^{2} (x - 1) = x$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $y^{2} (x - 1) = x$ por $x - 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $y^{2} (x - 1) = x$ por $x - 1$ .

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{x - 1}$

Paso 3.4.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$

Paso 3.4.6

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ .

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Paso 3.4.6.1

Reescribe $\sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ como $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$

Paso 3.4.6.2

Multiplica $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ por $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}} \cdot \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$

Paso 3.4.6.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.6.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ por $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1}}$

Paso 3.4.6.3.2

Eleva $\sqrt{x - 1}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1} \sqrt{x - 1}}$

Paso 3.4.6.3.3

Eleva $\sqrt{x - 1}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1} {\sqrt{x - 1}}^{1}}$

Paso 3.4.6.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.6.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{2}}$

Paso 3.4.6.3.6

Reescribe ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ como $x - 1$ .

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Paso 3.4.6.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4.6.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.6.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.6.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.6.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.6.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{1}}$

Paso 3.4.6.3.6.5

Simplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{x - 1}$

Paso 3.4.6.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Paso 3.4.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.