Matemática discreta Ejemplos

$2 x + y = 7$

Paso 1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 7 - 2 x$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 7 - 2 y$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $7 - 2 y = x$ .

$7 - 2 y = x$

Paso 3.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 y = x - 7$

Paso 3.3

Divide cada término en $- 2 y = x - 7$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $- 2 y = x - 7$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 7}{- 2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 7}{- 2}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{- 2} + \frac{- 7}{- 2}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- 7}{- 2}$

Paso 3.3.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{7}{2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{2} + \frac{7}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{2} + \frac{7}{2}$ es la inversa de $f (x) = 7 - 2 x$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (7 - 2 x)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (7 - 2 x) = - \frac{7 - 2 x}{2} + \frac{7}{2}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (7 - 2 x) = \frac{- (7 - 2 x) + 7}{2}$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (7 - 2 x) = \frac{- 1 \cdot 7 - (- 2 x) + 7}{2}$

Paso 5.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$f^{- 1} (7 - 2 x) = \frac{- 7 - (- 2 x) + 7}{2}$

Paso 5.2.4.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (7 - 2 x) = \frac{- 7 + 2 x + 7}{2}$

Paso 5.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.5.1

Combina los términos opuestos en $- 7 + 2 x + 7$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Suma $- 7$ y $7$ .

$f^{- 1} (7 - 2 x) = \frac{2 x + 0}{2}$

Paso 5.2.5.1.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (7 - 2 x) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (7 - 2 x) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (7 - 2 x) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (- \frac{x}{2} + \frac{7}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \frac{x}{2} + \frac{7}{2}) = 7 - 2 (- \frac{x}{2} + \frac{7}{2})$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \frac{x}{2} + \frac{7}{2}) = 7 - 2 (- \frac{x}{2}) - 2 (\frac{7}{2})$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{2}$ al numerador.

$f (- \frac{x}{2} + \frac{7}{2}) = 7 - 2 \frac{- x}{2} - 2 (\frac{7}{2})$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (- \frac{x}{2} + \frac{7}{2}) = 7 + 2 (- 1) (\frac{- x}{2}) - 2 (\frac{7}{2})$

Paso 5.3.3.2.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{x}{2} + \frac{7}{2}) = 7 + 2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2}) - 2 (\frac{7}{2})$

Paso 5.3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{x}{2} + \frac{7}{2}) = 7 - 1 (- x) - 2 (\frac{7}{2})$

Paso 5.3.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{x}{2} + \frac{7}{2}) = 7 + 1 x - 2 (\frac{7}{2})$

Paso 5.3.3.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (- \frac{x}{2} + \frac{7}{2}) = 7 + x - 2 (\frac{7}{2})$

Paso 5.3.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.5.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (- \frac{x}{2} + \frac{7}{2}) = 7 + x + 2 (- 1) (\frac{7}{2})$

Paso 5.3.3.5.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{x}{2} + \frac{7}{2}) = 7 + x + 2 \cdot (- 1 (\frac{7}{2}))$

Paso 5.3.3.5.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{x}{2} + \frac{7}{2}) = 7 + x - 1 \cdot 7$

Paso 5.3.3.6

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$f (- \frac{x}{2} + \frac{7}{2}) = 7 + x - 7$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $7 + x - 7$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $7$ de $7$ .

$f (- \frac{x}{2} + \frac{7}{2}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (- \frac{x}{2} + \frac{7}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{2} + \frac{7}{2}$ es la inversa de $f (x) = 7 - 2 x$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{2} + \frac{7}{2}$