Matemática discreta Ejemplos

$0 > - x^{2} + 7 x + 12$

Paso 1

Reescribe para que $x$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$- x^{2} + 7 x + 12 < 0$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- x^{2} + 7 x + 12 = 0$

Paso 3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = 7$ y $c = 12$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 12)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot 12}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 12$ .

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot 12}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $4$ por $12$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 48}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.1.3

Suma $49$ y $48$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{- 2}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{- 2}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{97}}{2}$

Paso 6

Consolida las soluciones.

$x = \frac{7 + \sqrt{97}}{2}, \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$

$\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

$x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$0 > - {(- 4)}^{2} + 7 (- 4) + 12$

Paso 8.1.3

$0$ del lado izquierdo es mayor que $- 32$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$0 > - {(0)}^{2} + 7 (0) + 12$

Paso 8.2.3

$0$ del lado izquierdo no es mayor que $12$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 11$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $11$ en la desigualdad original.

$0 > - {(11)}^{2} + 7 (11) + 12$

Paso 8.3.3

$0$ del lado izquierdo es mayor que $- 32$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ Verdadero

$\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ Falso

$x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ Verdadero

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ Verdadero

$\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ Falso

$x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ Verdadero

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ o $x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2} or x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \frac{7 - \sqrt{97}}{2}) \cup (\frac{7 + \sqrt{97}}{2}, \infty)$

Paso 11