Matemática discreta Ejemplos

$\frac{x + 7}{- x - 5} < 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x + 7 = 0$

$- x - 5 = 0$

Paso 2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

Paso 3

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$- x = 5$

Paso 4

Divide cada término en $- x = 5$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $- x = 5$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{5}{- 1}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{5}{- 1}$

Paso 4.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{- 1}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide $5$ por $- 1$ .

$x = - 5$

Paso 5

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 7$

$x = - 5$

Paso 6

Consolida las soluciones.

$x = - 7, - 5$

Paso 7

Obtén el dominio de $\frac{x + 7}{- x - 5}$ .

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Paso 7.1

Establece el denominador en $\frac{x + 7}{- x - 5}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$- x - 5 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x$

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Paso 7.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$- x = 5$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $- x = 5$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $- x = 5$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{5}{- 1}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{5}{- 1}$

Paso 7.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{- 1}$

Paso 7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.3.1

Divide $5$ por $- 1$ .

$x = - 5$

Paso 7.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 5$

$x > - 5$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 10) + 7}{- (- 10) - 5} < 0$

Paso 9.1.3

$- 0.6$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 7 < x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 7 < x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 6) + 7}{- (- 6) - 5} < 0$

Paso 9.2.3

$1$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) + 7}{- (0) - 5} < 0$

Paso 9.3.3

$- 1.4$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 7$ Verdadero

$- 7 < x < - 5$ Falso

$x > - 5$ Verdadero

$x < - 7$ Verdadero

$- 7 < x < - 5$ Falso

$x > - 5$ Verdadero

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 7$ o $x > - 5$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 7 or x > - 5$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 7) \cup (- 5, \infty)$

Paso 12