Matemática discreta Ejemplos

$\log (\log (4 + b)) = \log (3 c - 1)$

Paso 1

Resta $\log (3 c - 1)$ de ambos lados de la ecuación.

$\log (\log (4 + b)) - \log (3 c - 1) = 0$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\log (4 + b)}{3 c - 1}) = 0$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{\log (4 + b)}{3 c - 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 c - 1 = 0$

Paso 4

Resuelve $b$

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Paso 4.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 c = 1$

Paso 4.2

Divide cada término en $3 c = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $3 c = 1$ por $3$ .

$\frac{3 c}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 c}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $c$ por $1$ .

$c = \frac{1}{3}$

Paso 5

Establece el argumento en $\log (4 + b)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$4 + b \leq 0$

Paso 6

Resta $4$ de ambos lados de la desigualdad.

$b \leq - 4$

Paso 7

Establece el argumento en $\log (\frac{\log (4 + b)}{3 c - 1})$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\frac{\log (4 + b)}{3 c - 1} \leq 0$

Paso 8

Resuelve $b$

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Paso 8.1

Multiplica ambos lados por $3 c - 1$ .

$\frac{\log (4 + b)}{3 c - 1} (3 c - 1) \leq 0 (3 c - 1)$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común de $3 c - 1$ .

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Paso 8.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\log (4 + b)}{3 c - 1} (3 c - 1) \leq 0 (3 c - 1)$

Paso 8.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\log (4 + b) \leq 0 (3 c - 1)$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.1

Multiplica $0$ por $3 c - 1$ .

$\log (4 + b) \leq 0$

Paso 8.3

Resuelve $b$

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Paso 8.3.1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\log (4 + b) = 0$

Paso 8.3.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 8.3.2.1

Reescribe $\log (4 + b) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{0} = 4 + b$

Paso 8.3.2.2

Resuelve $b$

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Paso 8.3.2.2.1

Reescribe la ecuación como $4 + b = 10^{0}$ .

$4 + b = 10^{0}$

Paso 8.3.2.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$4 + b = 1$

Paso 8.3.2.2.3

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.3.2.2.3.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$b = 1 - 4$

Paso 8.3.2.2.3.2

Resta $4$ de $1$ .

$b = - 3$

Paso 9

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$b \leq - 4, b = - 3, b = \frac{1}{3}$

$(- \infty, - 4] \cup [- 3, - 3] \cup [\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$

Paso 10