Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 4 & - 1 \end{array}]$

Paso 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 2

Find the determinant.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 1 - (- 4 \cdot 1)$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 - (- 4 \cdot 1)$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- (- 4 \cdot 1)$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 2 - - 4$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$- 2 + 4$

Paso 2.2.2

Suma $- 2$ y $4$ .

$2$

Paso 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{2} [\begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 4 & 2 \end{array}]$

Paso 5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot - 1 \\ \frac{1}{2} \cdot 4 & \frac{1}{2} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} & \frac{1}{2} \cdot - 1 \\ \frac{1}{2} \cdot 4 & \frac{1}{2} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \cdot - 1 \\ \frac{1}{2} \cdot 4 & \frac{1}{2} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot 4 & \frac{1}{2} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot 4 & \frac{1}{2} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) & \frac{1}{2} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.5.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) & \frac{1}{2} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.5.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ 2 & \frac{1}{2} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.6.1

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ 2 & \frac{1}{2} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.6.2

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ 2 & 1 \end{array}]$