Matemática discreta Ejemplos

$\frac{x - 3}{3 x - 1} = \frac{x + 4}{2 x + 5}$

Paso 1

Resta $\frac{x + 4}{2 x + 5}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x - 3}{3 x - 1} - \frac{x + 4}{2 x + 5} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x - 3}{3 x - 1} - \frac{x + 4}{2 x + 5}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Para escribir $\frac{x - 3}{3 x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x + 5}{2 x + 5}$ .

$\frac{x - 3}{3 x - 1} \cdot \frac{2 x + 5}{2 x + 5} - \frac{x + 4}{2 x + 5} = 0$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{x + 4}{2 x + 5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{x - 3}{3 x - 1} \cdot \frac{2 x + 5}{2 x + 5} - \frac{x + 4}{2 x + 5} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} = 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(3 x - 1) (2 x + 5)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{x - 3}{3 x - 1}$ por $\frac{2 x + 5}{2 x + 5}$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} - \frac{x + 4}{2 x + 5} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} = 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{x + 4}{2 x + 5}$ por $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} - \frac{(x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(3 x - 1) (2 x + 5)$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 5)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} - \frac{(x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x - 3) (2 x + 5) - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Expande $(x - 3) (2 x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x + 5) - 3 (2 x + 5) - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - 3 (2 x + 5) - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.2.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.2.1.4

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 6 x - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.2.1.5

Multiplica $- 3$ por $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 6 x - 15 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.2.2

Resta $6 x$ de $5 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 + (- x - 1 \cdot 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 + (- x - 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.5

Expande $(- x - 4) (3 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - x (3 x - 1) - 4 (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - x (3 x) - x \cdot - 1 - 4 (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - x (3 x) - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.6

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 1 \cdot 3 x \cdot x - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.6.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 1 \cdot 3 (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.6.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 1 \cdot 3 x^{2} - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.6.1.4

Multiplica $- x \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.6.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + 1 x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.6.1.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.6.1.5

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + x - 12 x - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.6.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + x - 12 x + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.6.2

Resta $12 x$ de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} - 11 x + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.7

Resta $3 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - x - 15 - 11 x + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.8

Resta $11 x$ de $- x$ .

$\frac{- x^{2} - 12 x - 15 + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.9

Suma $- 15$ y $4$ .

$\frac{- x^{2} - 12 x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.10

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.10.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 11 = 11$ y cuya suma es $b = - 12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.10.1.1

Factoriza $- 12$ de $- 12 x$ .

$\frac{- x^{2} - 12 (x) - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.10.1.2

Reescribe $- 12$ como $- 1$ más $- 11$

$\frac{- x^{2} + (- 1 - 11) x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.10.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} - 1 x - 11 x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.10.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.10.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) - 11 x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.10.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 1) + 11 (- x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.5.10.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.7

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.9

Reescribe $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{(x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(2 x + 5) (3 x - 1) = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 5 = 0$

$3 x - 1 = 0$

Paso 4.2

Establece $2 x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Establece $2 x + 5$ igual a $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Paso 4.2.2

Resuelve $2 x + 5 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 5$

Paso 4.2.2.2

Divide cada término en $2 x = - 5$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Paso 4.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Paso 4.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Paso 4.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{2}$

Paso 4.3

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Paso 4.3.2

Resuelve $3 x - 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 1$

Paso 4.3.2.2

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 4.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Paso 4.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x + 5) (3 x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{5}{2}, \frac{1}{3}$

Paso 5

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - \frac{5}{2}, x = \frac{1}{3}$

Paso 6