Matemática discreta Ejemplos

$\frac{\log (\sqrt{x \sqrt{x}})}{\log (\sqrt[3]{x})}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{\log (\sqrt{x \sqrt{x}})}{\log (\sqrt[3]{x})}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\log (\sqrt[3]{x}) = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Reescribe $\log (\sqrt[3]{x}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \sqrt[3]{x}$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt[3]{x} = 10^{0}$ .

$\sqrt[3]{x} = 10^{0}$

Paso 2.2.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(10^{0})}^{3}$

Paso 2.2.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(10^{0})}^{3}$

Paso 2.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.3.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.2.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.2.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(10^{0})}^{3}$

Paso 2.2.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(10^{0})}^{3}$

Paso 2.2.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(10^{0})}^{3}$

Paso 2.2.3.2.1.2

Simplifica.

$x = {(10^{0})}^{3}$

Paso 2.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.3.1

Simplifica ${(10^{0})}^{3}$ .

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Paso 2.2.3.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${(10^{0})}^{3}$ .

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Paso 2.2.3.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 10^{0 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.3.1.1.2

Multiplica $0$ por $3$ .

$x = 10^{0}$

Paso 2.2.3.3.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x = 1$

Paso 3

Establece el argumento en $\log (\sqrt{x \sqrt{x}})$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{x \sqrt{x}} \leq 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{x \sqrt{x}}}^{2} \leq 0^{2}$

Paso 4.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x \sqrt{x}}$ como ${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica ${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x \sqrt{x})}^{1} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.2

Simplifica.

$x \sqrt{x} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x \sqrt{x} \leq 0$

Paso 4.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${(x \sqrt{x})}^{2} \leq 0^{2}$

Paso 4.4

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 4.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica ${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.2.1.1.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.4.2.1.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

${(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Paso 4.4.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Paso 4.4.2.1.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Paso 4.4.2.1.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Paso 4.4.2.1.1.4

Suma $2$ y $1$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Paso 4.4.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.4.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Paso 4.4.2.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.2.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Paso 4.4.2.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{3} \leq 0^{2}$

Paso 4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{3} \leq 0$

Paso 4.5

Resuelve $x$

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Paso 4.5.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} \leq \sqrt[3]{0}$

Paso 4.5.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 4.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x \leq \sqrt[3]{0}$

Paso 4.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.2.2.1

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 4.5.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x \leq \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 4.5.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x \leq 0$

Paso 5

Establece el argumento en $\log (\sqrt[3]{x})$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{x} \leq 0$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{x}}^{3} \leq 0^{3}$

Paso 6.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} \leq 0^{3}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} \leq 0^{3}$

Paso 6.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} \leq 0^{3}$

Paso 6.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} \leq 0^{3}$

Paso 6.2.2.1.2

Simplifica.

$x \leq 0^{3}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x \leq 0$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x < 0$

Paso 8

Establece el radicando en $\sqrt{x \sqrt{x}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \sqrt{x} < 0$

Paso 9

Resuelve $x$

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Paso 9.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${(x \sqrt{x})}^{2} < 0^{2}$

Paso 9.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 9.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Paso 9.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.1

Simplifica ${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 9.2.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.2.2.1.1.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 9.2.2.1.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

${(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Paso 9.2.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Paso 9.2.2.1.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Paso 9.2.2.1.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Paso 9.2.2.1.1.4

Suma $2$ y $1$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Paso 9.2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 9.2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Paso 9.2.2.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.2.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Paso 9.2.2.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{3} < 0^{2}$

Paso 9.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{3} < 0$

Paso 9.3

Resuelve $x$

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Paso 9.3.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Paso 9.3.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 9.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Paso 9.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.2.1

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 9.3.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 9.3.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x < 0$

Paso 9.4

Obtén el dominio de $x \sqrt{x}$ .

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Paso 9.4.1

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 9.4.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

Paso 9.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$x > 0$

Paso 9.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 9.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$(- 2) \sqrt{- 2} < 0$

Paso 9.6.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.6.2

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 9.6.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$(2) \sqrt{2} < 0$

Paso 9.6.2.3

$2.82842712$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.6.3

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$x > 0$ Falso

$x < 0$ Falso

$x > 0$ Falso

Paso 9.7

Como no hay números que estén dentro del intervalo, esta desigualdad no tiene solución.

No hay solución

Paso 10

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0, x = 1$

$(- \infty, 0] \cup [1, 1]$

Paso 11