Matemática discreta Ejemplos

$\frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}{1 + \frac{4}{x}}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{4}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}{1 + \frac{4}{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$1 + \frac{4}{x} = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{4}{x} = - 1$

Paso 4.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 4.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, 1$

Paso 4.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 4.3

Multiplica cada término en $\frac{4}{x} = - 1$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.3.1

Multiplica cada término en $\frac{4}{x} = - 1$ por $x$ .

$\frac{4}{x} x = - x$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{x} x = - x$

Paso 4.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$4 = - x$

Paso 4.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.4.1

Reescribe la ecuación como $- x = 4$ .

$- x = 4$

Paso 4.4.2

Divide cada término en $- x = 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.4.2.1

Divide cada término en $- x = 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

Paso 4.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{4}{- 1}$

Paso 4.4.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{- 1}$

Paso 4.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.3.1

Divide $4$ por $- 1$ .

$x = - 4$

Paso 5

Establece el radicando en $\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$1 + \frac{4}{x^{2}} < 0$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{4}{x^{2}} < - 1$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados por $x^{2}$ .

$\frac{4}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 6.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Paso 6.3.1.2

Reescribe la expresión.

$4 = - x^{2}$

Paso 6.4

Resuelve $x$

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Paso 6.4.1

Reescribe la ecuación como $- x^{2} = 4$ .

$- x^{2} = 4$

Paso 6.4.2

Divide cada término en $- x^{2} = 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.4.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

Paso 6.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{4}{- 1}$

Paso 6.4.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{- 1}$

Paso 6.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.3.1

Divide $4$ por $- 1$ .

$x^{2} = - 4$

Paso 6.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Paso 6.4.4

Simplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Paso 6.4.4.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Paso 6.4.4.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Paso 6.4.4.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Paso 6.4.4.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Paso 6.4.4.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Paso 6.4.4.6

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Paso 6.4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2 i$

Paso 6.4.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2 i$

Paso 6.4.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 i, - 2 i$

Paso 6.5

Obtén el dominio de $1 + \frac{4}{x^{2}}$ .

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Paso 6.5.1

Establece el denominador en $\frac{4}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 6.5.2

Resuelve $x$

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Paso 6.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 6.5.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 6.5.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 6.5.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 6.5.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6.5.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6.6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$x > 0$

Paso 6.7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 6.7.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$1 + \frac{4}{{(- 2)}^{2}} < 0$

Paso 6.7.1.3

$2$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.7.2

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.7.2.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 6.7.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$1 + \frac{4}{{(2)}^{2}} < 0$

Paso 6.7.2.3

$2$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.7.3

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$x > 0$ Falso

$x < 0$ Falso

$x > 0$ Falso

Paso 6.8

Como no hay números que estén dentro del intervalo, esta desigualdad no tiene solución.

No hay solución

Paso 7

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 4, x = 0$

Paso 8