Matemática discreta Ejemplos

$(- 3, 8)$

Paso 1

Para obtener una función exponencial, $f (x) = a^{x}$ , que contenga el punto, establece $f (x)$ en la función al valor $y$ $8$ del punto, y establece $x$ al valor $x$ $- 3$ del punto.

$8 = a^{- 3}$

Paso 2

Resuelve la ecuación en $a$ .

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $a^{- 3} = 8$ .

$a^{- 3} = 8$

Paso 2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{a^{3}} = 8$

Paso 2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$a^{3}, 1$

Paso 2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$a^{3}$

Paso 2.4

Multiplica cada término en $\frac{1}{a^{3}} = 8$ por $a^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.4.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{a^{3}} = 8$ por $a^{3}$ .

$\frac{1}{a^{3}} a^{3} = 8 a^{3}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $a^{3}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{a^{3}} a^{3} = 8 a^{3}$

Paso 2.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = 8 a^{3}$

Paso 2.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $8 a^{3} = 1$ .

$8 a^{3} = 1$

Paso 2.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$8 a^{3} - 1 = 0$

Paso 2.5.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.5.3.1

Reescribe $8 a^{3}$ como ${(2 a)}^{3}$ .

${(2 a)}^{3} - 1 = 0$

Paso 2.5.3.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

${(2 a)}^{3} - 1^{3} = 0$

Paso 2.5.3.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 2 a$ y $b = 1$ .

$(2 a - 1) ({(2 a)}^{2} + 2 a \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 2.5.3.4

Simplifica.

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Paso 2.5.3.4.1

Aplica la regla del producto a $2 a$ .

$(2 a - 1) (2^{2} a^{2} + 2 a \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 2.5.3.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(2 a - 1) (4 a^{2} + 2 a \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 2.5.3.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$(2 a - 1) (4 a^{2} + 2 a + 1^{2}) = 0$

Paso 2.5.3.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(2 a - 1) (4 a^{2} + 2 a + 1) = 0$

Paso 2.5.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 a - 1 = 0$

$4 a^{2} + 2 a + 1 = 0$

Paso 2.5.5

Establece $2 a - 1$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 2.5.5.1

Establece $2 a - 1$ igual a $0$ .

$2 a - 1 = 0$

Paso 2.5.5.2

Resuelve $2 a - 1 = 0$ en $a$ .

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Paso 2.5.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 a = 1$

Paso 2.5.5.2.2

Divide cada término en $2 a = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.5.5.2.2.1

Divide cada término en $2 a = 1$ por $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.5.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 a}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.5.5.2.2.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{1}{2}$

Paso 2.5.6

Establece $4 a^{2} + 2 a + 1$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 2.5.6.1

Establece $4 a^{2} + 2 a + 1$ igual a $0$ .

$4 a^{2} + 2 a + 1 = 0$

Paso 2.5.6.2

Resuelve $4 a^{2} + 2 a + 1 = 0$ en $a$ .

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Paso 2.5.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5.6.2.2

Sustituye los valores $a = 4$ , $b = 2$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $a$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.3

Simplifica.

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Paso 2.5.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.6.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Paso 2.5.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.3.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.3.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.3.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.5.6.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.5.6.2.3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Paso 2.5.6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.6.2.4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Paso 2.5.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.4.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.4.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.4.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.5.6.2.4.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.4.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.5.6.2.4.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Paso 2.5.6.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$a = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Paso 2.5.6.2.4.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Paso 2.5.6.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{4}$

Paso 2.5.6.2.4.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Paso 2.5.6.2.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

Paso 2.5.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.6.2.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Paso 2.5.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.5.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.5.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.5.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.5.6.2.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.5.6.2.5.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Paso 2.5.6.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$a = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Paso 2.5.6.2.5.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Paso 2.5.6.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{4}$

Paso 2.5.6.2.5.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{4}$

Paso 2.5.6.2.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Paso 2.5.6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Paso 2.5.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 a - 1) (4 a^{2} + 2 a + 1) = 0$ verdadera.

$a = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Paso 2.6

Elimina todos los valores que contienen componentes imaginarios.

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Paso 2.6.1

No hay componentes imaginarios. Suma $\frac{1}{2}$ a la respuesta final.

$\frac{1}{2}$ es un número real

Paso 2.6.2

La letra $i$ representa un componente imaginario y no es un número real. No sumes $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ a la respuesta final.

$- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ no es un número real

Paso 2.6.3

La letra $i$ representa un componente imaginario y no es un número real. No sumes $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ a la respuesta final.

$- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ no es un número real

Paso 2.6.4

La respuesta final es la lista de los valores que no contienen componentes imaginarios.

$a = \frac{1}{2}$

Paso 3

Sustituye cada valor por $a$ de nuevo en la función $f (x) = a^{x}$ para obtener todas las funciones exponenciales posibles.

$f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$