Matemática discreta Ejemplos

$3 x - 2 y = - 6$ , $4 x + 3 y = 10$

Paso 1

Resuelve $x$ en $3 x - 2 y = - 6$ .

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Paso 1.1

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 6 + 2 y$

$4 x + 3 y = 10$

Paso 1.2

Divide cada término en $3 x = - 6 + 2 y$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $3 x = - 6 + 2 y$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 6}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 10$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 6}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 10$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 10$

$x = \frac{- 6}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 10$

$x = \frac{- 6}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 10$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Divide $- 6$ por $3$ .

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 10$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 2 + \frac{2 y}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $4 x + 3 y = 10$ por $- 2 + \frac{2 y}{3}$ .

$4 (- 2 + \frac{2 y}{3}) + 3 y = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $4 (- 2 + \frac{2 y}{3}) + 3 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot - 2 + 4 (\frac{2 y}{3}) + 3 y = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$- 8 + 4 (\frac{2 y}{3}) + 3 y = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $4 \frac{2 y}{3}$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Combina $4$ y $\frac{2 y}{3}$ .

$- 8 + \frac{4 (2 y)}{3} + 3 y = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$- 8 + \frac{8 y}{3} + 3 y = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{8 y}{3} + 3 y = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{8 y}{3} + 3 y = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $3 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 8 + \frac{8 y}{3} + 3 y \cdot \frac{3}{3} = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1.3.1

Combina $3 y$ y $\frac{3}{3}$ .

$- 8 + \frac{8 y}{3} + \frac{3 y \cdot 3}{3} = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 8 + \frac{8 y + 3 y \cdot 3}{3} = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{8 y + 3 y \cdot 3}{3} = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.4.1.1

Factoriza $y$ de $8 y + 3 y \cdot 3$ .

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Paso 2.2.1.4.1.1.1

Factoriza $y$ de $8 y$ .

$- 8 + \frac{y \cdot 8 + 3 y \cdot 3}{3} = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.4.1.1.2

Factoriza $y$ de $3 y \cdot 3$ .

$- 8 + \frac{y \cdot 8 + y (3 \cdot 3)}{3} = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.4.1.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 8 + y (3 \cdot 3)$ .

$- 8 + \frac{y (8 + 3 \cdot 3)}{3} = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{y (8 + 3 \cdot 3)}{3} = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.4.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- 8 + \frac{y (8 + 9)}{3} = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.4.1.3

Suma $8$ y $9$ .

$- 8 + \frac{y \cdot 17}{3} = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{y \cdot 17}{3} = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.4.2

Mueve $17$ a la izquierda de $y$ .

$- 8 + \frac{17 y}{3} = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{17 y}{3} = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{17 y}{3} = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{17 y}{3} = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{17 y}{3} = 10$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $- 8 + \frac{17 y}{3} = 10$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{17 y}{3} = 10 + 8$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.1.2

Suma $10$ y $8$ .

$\frac{17 y}{3} = 18$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$\frac{17 y}{3} = 18$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{17}$ .

$\frac{3}{17} \cdot \frac{17 y}{3} = \frac{3}{17} \cdot 18$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica $\frac{3}{17} \cdot \frac{17 y}{3}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{17} \cdot \frac{17 y}{3} = \frac{3}{17} \cdot 18$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{17} \cdot (17 y) = \frac{3}{17} \cdot 18$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$\frac{1}{17} \cdot (17 y) = \frac{3}{17} \cdot 18$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $17$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Factoriza $17$ de $17 y$ .

$\frac{1}{17} \cdot (17 (y)) = \frac{3}{17} \cdot 18$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{17} \cdot (17 y) = \frac{3}{17} \cdot 18$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{3}{17} \cdot 18$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{3}{17} \cdot 18$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{3}{17} \cdot 18$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{3}{17} \cdot 18$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $\frac{3}{17} \cdot 18$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Combina $\frac{3}{17}$ y $18$ .

$y = \frac{3 \cdot 18}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $3$ por $18$ .

$y = \frac{54}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{54}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{54}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{54}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{54}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{54}{17}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - 2 + \frac{2 y}{3}$ por $\frac{54}{17}$ .

$x = - 2 + \frac{2 (\frac{54}{17})}{3}$

$y = \frac{54}{17}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- 2 + \frac{2 (\frac{54}{17})}{3}$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Combina $2$ y $\frac{54}{17}$ .

$x = - 2 + \frac{\frac{2 \cdot 54}{17}}{3}$

$y = \frac{54}{17}$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $54$ .

$x = - 2 + \frac{\frac{108}{17}}{3}$

$y = \frac{54}{17}$

Paso 4.2.1.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - 2 + \frac{108}{17} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{54}{17}$

Paso 4.2.1.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.1.4.1

Factoriza $3$ de $108$ .

$x = - 2 + \frac{3 (36)}{17} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{54}{17}$

Paso 4.2.1.1.4.2

Cancela el factor común.

$x = - 2 + \frac{3 \cdot 36}{17} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{54}{17}$

Paso 4.2.1.1.4.3

Reescribe la expresión.

$x = - 2 + \frac{36}{17}$

$y = \frac{54}{17}$

$x = - 2 + \frac{36}{17}$

$y = \frac{54}{17}$

$x = - 2 + \frac{36}{17}$

$y = \frac{54}{17}$

Paso 4.2.1.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{17}{17}$ .

$x = - 2 \cdot \frac{17}{17} + \frac{36}{17}$

$y = \frac{54}{17}$

Paso 4.2.1.3

Combina $- 2$ y $\frac{17}{17}$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 17}{17} + \frac{36}{17}$

$y = \frac{54}{17}$

Paso 4.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 2 \cdot 17 + 36}{17}$

$y = \frac{54}{17}$

Paso 4.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.5.1

Multiplica $- 2$ por $17$ .

$x = \frac{- 34 + 36}{17}$

$y = \frac{54}{17}$

Paso 4.2.1.5.2

Suma $- 34$ y $36$ .

$x = \frac{2}{17}$

$y = \frac{54}{17}$

$x = \frac{2}{17}$

$y = \frac{54}{17}$

$x = \frac{2}{17}$

$y = \frac{54}{17}$

$x = \frac{2}{17}$

$y = \frac{54}{17}$

$x = \frac{2}{17}$

$y = \frac{54}{17}$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{2}{17}, \frac{54}{17})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{2}{17}, \frac{54}{17})$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{2}{17}, y = \frac{54}{17}$

Paso 7