Matemática discreta Ejemplos

$\frac{4 (x - 2)}{x - 3} + \frac{3}{x} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Paso 1

Simplifica $\frac{4 (x - 2)}{x - 3} + \frac{3}{x}$ .

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{4 (x - 2)}{x - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 (x - 2)}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} + \frac{3}{x} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Paso 1.2

Para escribir $\frac{3}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{4 (x - 2)}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} + \frac{3}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 3) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{4 (x - 2)}{x - 3}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 (x - 2) x}{(x - 3) x} + \frac{3}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{3}{x}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{4 (x - 2) x}{(x - 3) x} + \frac{3 (x - 3)}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de $(x - 3) x$ .

$\frac{4 (x - 2) x}{x (x - 3)} + \frac{3 (x - 3)}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 (x - 2) x + 3 (x - 3)}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Paso 1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 x + 4 \cdot - 2) x + 3 (x - 3)}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Paso 1.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{(4 x - 8) x + 3 (x - 3)}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Paso 1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x \cdot x - 8 x + 3 (x - 3)}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Paso 1.5.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x) - 8 x + 3 (x - 3)}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Paso 1.5.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x + 3 (x - 3)}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Paso 1.5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 8 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Paso 1.5.6

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x + 3 x - 9}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Paso 1.5.7

Suma $- 8 x$ y $3 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 5 x - 9}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Paso 1.5.8

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.5.8.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 1.5.8.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 5 (x) - 9}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Paso 1.5.8.1.2

Reescribe $- 5$ como $4$ más $- 9$

$\frac{4 x^{2} + (4 - 9) x - 9}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Paso 1.5.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 4 x - 9 x - 9}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Paso 1.5.8.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.5.8.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(4 x^{2} + 4 x) - 9 x - 9}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Paso 1.5.8.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{4 x (x + 1) - 9 (x + 1)}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Paso 1.5.8.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) (4 x - 9)}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{(x + 1) (4 x - 9)}{x (x - 3)} = - \frac{3}{x (x - 3)}$

Paso 3

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = - \frac{3}{4}, 2$

Paso 4