Matemática discreta Ejemplos

$\frac{z}{z^{2} - 4} + \frac{6 z}{z^{2} - 2 z}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{z}{z^{2} - 2^{2}} + \frac{6 z}{z^{2} - 2 z}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = z$ y $b = 2$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} + \frac{6 z}{z^{2} - 2 z}$

Paso 1.2

Factoriza $z$ de $z^{2} - 2 z$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $z$ de $z^{2}$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} + \frac{6 z}{z \cdot z - 2 z}$

Paso 1.2.2

Factoriza $z$ de $- 2 z$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} + \frac{6 z}{z \cdot z + z \cdot - 2}$

Paso 1.2.3

Factoriza $z$ de $z \cdot z + z \cdot - 2$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} + \frac{6 z}{z (z - 2)}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $z$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} + \frac{6 z}{z (z - 2)}$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} + \frac{6}{z - 2}$

Paso 2

Para escribir $\frac{6}{z - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{z + 2}{z + 2}$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} + \frac{6}{z - 2} \cdot \frac{z + 2}{z + 2}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(z + 2) (z - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{6}{z - 2}$ por $\frac{z + 2}{z + 2}$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} + \frac{6 (z + 2)}{(z - 2) (z + 2)}$

Paso 3.2

Reordena los factores de $(z - 2) (z + 2)$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} + \frac{6 (z + 2)}{(z + 2) (z - 2)}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{z + 6 (z + 2)}{(z + 2) (z - 2)}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{z + 6 z + 6 \cdot 2}{(z + 2) (z - 2)}$

Paso 5.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{z + 6 z + 12}{(z + 2) (z - 2)}$

Paso 5.3

Suma $z$ y $6 z$ .

$\frac{7 z + 12}{(z + 2) (z - 2)}$