Matemática discreta Ejemplos

$\frac{z}{z - 3} + \frac{3}{z + 3} = \frac{18}{z^{2 - 9}}$

Paso 1

Resta $\frac{18}{z^{2 - 9}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{z}{z - 3} + \frac{3}{z + 3} - \frac{18}{z^{2 - 9}} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{z}{z - 3} + \frac{3}{z + 3} - \frac{18}{z^{2 - 9}}$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Mueve $z^{2 - 9}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{z}{z - 3} + \frac{3}{z + 3} - (18 z^{- (2 - 9)}) = 0$

Paso 2.1.2

Resta $9$ de $2$ .

$\frac{z}{z - 3} + \frac{3}{z + 3} - (18 z^{- - 7}) = 0$

Paso 2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{z}{z - 3} + \frac{3}{z + 3} - (18 z^{7}) = 0$

Paso 2.1.4

Multiplica $18$ por $- 1$ .

$\frac{z}{z - 3} + \frac{3}{z + 3} - 18 z^{7} = 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{z}{z - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{z + 3}{z + 3}$ .

$\frac{z}{z - 3} \cdot \frac{z + 3}{z + 3} + \frac{3}{z + 3} - 18 z^{7} = 0$

Paso 2.3

Para escribir $\frac{3}{z + 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{z - 3}{z - 3}$ .

$\frac{z}{z - 3} \cdot \frac{z + 3}{z + 3} + \frac{3}{z + 3} \cdot \frac{z - 3}{z - 3} - 18 z^{7} = 0$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(z - 3) (z + 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{z}{z - 3}$ por $\frac{z + 3}{z + 3}$ .

$\frac{z (z + 3)}{(z - 3) (z + 3)} + \frac{3}{z + 3} \cdot \frac{z - 3}{z - 3} - 18 z^{7} = 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{3}{z + 3}$ por $\frac{z - 3}{z - 3}$ .

$\frac{z (z + 3)}{(z - 3) (z + 3)} + \frac{3 (z - 3)}{(z + 3) (z - 3)} - 18 z^{7} = 0$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $(z - 3) (z + 3)$ .

$\frac{z (z + 3)}{(z + 3) (z - 3)} + \frac{3 (z - 3)}{(z + 3) (z - 3)} - 18 z^{7} = 0$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{z (z + 3) + 3 (z - 3)}{(z + 3) (z - 3)} - 18 z^{7} = 0$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{z \cdot z + z \cdot 3 + 3 (z - 3)}{(z + 3) (z - 3)} - 18 z^{7} = 0$

Paso 2.6.2

Multiplica $z$ por $z$ .

$\frac{z^{2} + z \cdot 3 + 3 (z - 3)}{(z + 3) (z - 3)} - 18 z^{7} = 0$

Paso 2.6.3

Mueve $3$ a la izquierda de $z$ .

$\frac{z^{2} + 3 \cdot z + 3 (z - 3)}{(z + 3) (z - 3)} - 18 z^{7} = 0$

Paso 2.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{z^{2} + 3 z + 3 z + 3 \cdot - 3}{(z + 3) (z - 3)} - 18 z^{7} = 0$

Paso 2.6.5

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{z^{2} + 3 z + 3 z - 9}{(z + 3) (z - 3)} - 18 z^{7} = 0$

Paso 2.6.6

Suma $3 z$ y $3 z$ .

$\frac{z^{2} + 6 z - 9}{(z + 3) (z - 3)} - 18 z^{7} = 0$

Paso 2.7

Para escribir $- 18 z^{7}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(z + 3) (z - 3)}{(z + 3) (z - 3)}$ .

$\frac{z^{2} + 6 z - 9}{(z + 3) (z - 3)} - 18 z^{7} \cdot \frac{(z + 3) (z - 3)}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.8

Combina $- 18 z^{7}$ y $\frac{(z + 3) (z - 3)}{(z + 3) (z - 3)}$ .

$\frac{z^{2} + 6 z - 9}{(z + 3) (z - 3)} + \frac{- 18 z^{7} ((z + 3) (z - 3))}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{z^{2} + 6 z - 9 - 18 z^{7} ((z + 3) (z - 3))}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.1

Expande $(z + 3) (z - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.10.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{z^{2} + 6 z - 9 - 18 z^{7} (z (z - 3) + 3 (z - 3))}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.10.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{z^{2} + 6 z - 9 - 18 z^{7} (z \cdot z + z \cdot - 3 + 3 (z - 3))}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.10.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{z^{2} + 6 z - 9 - 18 z^{7} (z \cdot z + z \cdot - 3 + 3 z + 3 \cdot - 3)}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.10.2

Combina los términos opuestos en $z \cdot z + z \cdot - 3 + 3 z + 3 \cdot - 3$ .

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Paso 2.10.2.1

Reordena los factores en los términos $z \cdot - 3$ y $3 z$ .

$\frac{z^{2} + 6 z - 9 - 18 z^{7} (z \cdot z - 3 z + 3 z + 3 \cdot - 3)}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.10.2.2

Suma $- 3 z$ y $3 z$ .

$\frac{z^{2} + 6 z - 9 - 18 z^{7} (z \cdot z + 0 + 3 \cdot - 3)}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.10.2.3

Suma $z \cdot z$ y $0$ .

$\frac{z^{2} + 6 z - 9 - 18 z^{7} (z \cdot z + 3 \cdot - 3)}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.10.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.10.3.1

Multiplica $z$ por $z$ .

$\frac{z^{2} + 6 z - 9 - 18 z^{7} (z^{2} + 3 \cdot - 3)}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.10.3.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{z^{2} + 6 z - 9 - 18 z^{7} (z^{2} - 9)}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.10.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{z^{2} + 6 z - 9 - 18 z^{7} z^{2} - 18 z^{7} \cdot - 9}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.10.5

Multiplica $z^{7}$ por $z^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.10.5.1

Mueve $z^{2}$ .

$\frac{z^{2} + 6 z - 9 - 18 (z^{2} z^{7}) - 18 z^{7} \cdot - 9}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.10.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{z^{2} + 6 z - 9 - 18 z^{2 + 7} - 18 z^{7} \cdot - 9}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.10.5.3

Suma $2$ y $7$ .

$\frac{z^{2} + 6 z - 9 - 18 z^{9} - 18 z^{7} \cdot - 9}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.10.6

Multiplica $- 9$ por $- 18$ .

$\frac{z^{2} + 6 z - 9 - 18 z^{9} + 162 z^{7}}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.10.7

Reordena los términos.

$\frac{- 18 z^{9} + 162 z^{7} + z^{2} + 6 z - 9}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.11

Factoriza $- 1$ de $- 18 z^{9}$ .

$\frac{- (18 z^{9}) + 162 z^{7} + z^{2} + 6 z - 9}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.12

Factoriza $- 1$ de $162 z^{7}$ .

$\frac{- (18 z^{9}) - (- 162 z^{7}) + z^{2} + 6 z - 9}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.13

Factoriza $- 1$ de $- (18 z^{9}) - (- 162 z^{7})$ .

$\frac{- (18 z^{9} - 162 z^{7}) + z^{2} + 6 z - 9}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.14

Factoriza $- 1$ de $z^{2}$ .

$\frac{- (18 z^{9} - 162 z^{7}) - 1 (- z^{2}) + 6 z - 9}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.15

Factoriza $- 1$ de $- (18 z^{9} - 162 z^{7}) - 1 (- z^{2})$ .

$\frac{- (18 z^{9} - 162 z^{7} - z^{2}) + 6 z - 9}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.16

Factoriza $- 1$ de $6 z$ .

$\frac{- (18 z^{9} - 162 z^{7} - z^{2}) - (- 6 z) - 9}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.17

Factoriza $- 1$ de $- (18 z^{9} - 162 z^{7} - z^{2}) - (- 6 z)$ .

$\frac{- (18 z^{9} - 162 z^{7} - z^{2} - 6 z) - 9}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.18

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$\frac{- (18 z^{9} - 162 z^{7} - z^{2} - 6 z) - 1 (9)}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.19

Factoriza $- 1$ de $- (18 z^{9} - 162 z^{7} - z^{2} - 6 z) - 1 (9)$ .

$\frac{- (18 z^{9} - 162 z^{7} - z^{2} - 6 z + 9)}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.20

Reescribe $- (18 z^{9} - 162 z^{7} - z^{2} - 6 z + 9)$ como $- 1 (18 z^{9} - 162 z^{7} - z^{2} - 6 z + 9)$ .

$\frac{- 1 (18 z^{9} - 162 z^{7} - z^{2} - 6 z + 9)}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 2.21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{18 z^{9} - 162 z^{7} - z^{2} - 6 z + 9}{(z + 3) (z - 3)} = 0$

Paso 3

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$z \approx 0.6113853$

Paso 4