Matemática discreta Ejemplos

$x^{2} + {(x + 2)}^{2} = {(x + 4)}^{2} - 65$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta ${(x + 4)}^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + {(x + 2)}^{2} - {(x + 4)}^{2} = - 65$

Paso 1.2

Suma $65$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + {(x + 2)}^{2} - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Paso 2

Simplifica $x^{2} + {(x + 2)}^{2} - {(x + 4)}^{2} + 65$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$x^{2} + (x + 2) (x + 2) - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Paso 2.1.2

Expande $(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x (x + 2) + 2 (x + 2) - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Paso 2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Paso 2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Paso 2.1.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Paso 2.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$x^{2} + x^{2} + 2 x + 2 x + 4 - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Paso 2.1.3.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Paso 2.1.4

Reescribe ${(x + 4)}^{2}$ como $(x + 4) (x + 4)$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - ((x + 4) (x + 4)) + 65 = 0$

Paso 2.1.5

Expande $(x + 4) (x + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x (x + 4) + 4 (x + 4)) + 65 = 0$

Paso 2.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) + 65 = 0$

Paso 2.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + 65 = 0$

Paso 2.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + 65 = 0$

Paso 2.1.6.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) + 65 = 0$

Paso 2.1.6.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) + 65 = 0$

Paso 2.1.6.2

Suma $4 x$ y $4 x$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 8 x + 16) + 65 = 0$

Paso 2.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - (8 x) - 1 \cdot 16 + 65 = 0$

Paso 2.1.8

Simplifica.

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Paso 2.1.8.1

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 8 x - 1 \cdot 16 + 65 = 0$

Paso 2.1.8.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 8 x - 16 + 65 = 0$

Paso 2.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 8 x - 16 + 65$ .

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Paso 2.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 0 - 8 x - 16 + 65 = 0$

Paso 2.2.2

Suma $x^{2} + 4 x + 4$ y $0$ .

$x^{2} + 4 x + 4 - 8 x - 16 + 65 = 0$

Paso 2.3

Resta $8 x$ de $4 x$ .

$x^{2} - 4 x + 4 - 16 + 65 = 0$

Paso 2.4

Resta $16$ de $4$ .

$x^{2} - 4 x - 12 + 65 = 0$

Paso 2.5

Suma $- 12$ y $65$ .

$x^{2} - 4 x + 53 = 0$

Paso 3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 4$ y $c = 53$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 53)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 53$ .

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $53$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 212}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Resta $212$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 196}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4

Reescribe $- 196$ como $- 1 (196)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 196}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (196)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.7

Reescribe $196$ como $14^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 14}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.9

Mueve $14$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{4 \pm 14 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 7 i$

Paso 6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 53$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $53$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 212}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.3

Resta $212$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 196}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4

Reescribe $- 196$ como $- 1 (196)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 196}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (196)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.7

Reescribe $196$ como $14^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 14}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.9

Mueve $14$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2}$

Paso 6.3

Simplifica $\frac{4 \pm 14 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 7 i$

Paso 6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 2 + 7 i$

Paso 7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 53$ .

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $53$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 212}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.3

Resta $212$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 196}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.4

Reescribe $- 196$ como $- 1 (196)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 196}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (196)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.7

Reescribe $196$ como $14^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 14}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.9

Mueve $14$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{4 \pm 14 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 7 i$

Paso 7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 2 - 7 i$

Paso 8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 2 + 7 i, 2 - 7 i$