Matemática discreta Ejemplos

$x^{\frac{2}{7}} - 43 x^{\frac{1}{7}} = - 42$

Paso 1

Suma $42$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{2}{7}} - 43 x^{\frac{1}{7}} + 42 = 0$

Paso 2

Reescribe $x^{\frac{2}{7}}$ como ${(x^{\frac{1}{7}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{1}{7}})}^{2} - 43 x^{\frac{1}{7}} + 42 = 0$

Paso 3

Sea $u = x^{\frac{1}{7}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{\frac{1}{7}}$ .

$u^{2} - 43 u + 42 = 0$

Paso 4

Factoriza $u^{2} - 43 u + 42$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $42$ y cuya suma es $- 43$ .

$- 42, - 1$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 42) (u - 1) = 0$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{7}}$ .

$(x^{\frac{1}{7}} - 42) (x^{\frac{1}{7}} - 1) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{7}} - 42 = 0$

$x^{\frac{1}{7}} - 1 = 0$

Paso 7

Establece $x^{\frac{1}{7}} - 42$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x^{\frac{1}{7}} - 42$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{7}} - 42 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x^{\frac{1}{7}} - 42 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Suma $42$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{7}} = 42$

Paso 7.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $7$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = 42^{7}$

Paso 7.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 42^{7}$

Paso 7.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 42^{7}$

Paso 7.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 42^{7}$

Paso 7.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = 42^{7}$

Paso 7.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.2.1

Eleva $42$ a la potencia de $7$ .

$x = 230539333248$

Paso 8

Establece $x^{\frac{1}{7}} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x^{\frac{1}{7}} - 1$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{7}} - 1 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $x^{\frac{1}{7}} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{7}} = 1$

Paso 8.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $7$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = 1^{7}$

Paso 8.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 8.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 8.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 8.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 1^{7}$

Paso 8.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 8.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 1^{7}$

Paso 8.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 1^{7}$

Paso 8.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = 1^{7}$

Paso 8.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = 1$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{\frac{1}{7}} - 42) (x^{\frac{1}{7}} - 1) = 0$ verdadera.

$x = 230539333248, 1$