Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} = 15 \sqrt{x}$

Paso 1

Resta $15 \sqrt{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Paso 2

Simplifica $\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x}$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1.1.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 5^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Paso 2.1.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 2.1.1.3

Reescribe el polinomio.

$\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Paso 2.1.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\sqrt{{(x - 5)}^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Paso 2.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x - 5 + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Paso 2.2

Resta $15 \sqrt{x}$ de $12 \sqrt{x}$ .

$x - 5 - 3 \sqrt{x} = 0$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $- 3 \sqrt{x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 - 3 \sqrt{x} = - x$

Paso 3.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 \sqrt{x} = - x + 5$

Paso 4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- 3 \sqrt{x})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Paso 5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica ${(- 3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 3)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$9 x^{1} = {(- x + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.4

Simplifica.

$9 x = {(- x + 5)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Simplifica ${(- x + 5)}^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1

Reescribe ${(- x + 5)}^{2}$ como $(- x + 5) (- x + 5)$ .

$9 x = (- x + 5) (- x + 5)$

Paso 5.3.1.2

Expande $(- x + 5) (- x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 x = - x (- x + 5) + 5 (- x + 5)$

Paso 5.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9 x = - x (- x) - x \cdot 5 + 5 (- x + 5)$

Paso 5.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 x = - x (- x) - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Paso 5.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$9 x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Paso 5.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$9 x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Paso 5.3.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$9 x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Paso 5.3.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$9 x = 1 x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Paso 5.3.1.3.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$9 x = x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Paso 5.3.1.3.1.5

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$9 x = x^{2} - 5 x + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Paso 5.3.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$9 x = x^{2} - 5 x - 5 x + 5 \cdot 5$

Paso 5.3.1.3.1.7

Multiplica $5$ por $5$ .

$9 x = x^{2} - 5 x - 5 x + 25$

Paso 5.3.1.3.2

Resta $5 x$ de $- 5 x$ .

$9 x = x^{2} - 10 x + 25$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} - 10 x + 25 = 9 x$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Resta $9 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 10 x + 25 - 9 x = 0$

Paso 6.2.2

Resta $9 x$ de $- 10 x$ .

$x^{2} - 19 x + 25 = 0$

Paso 6.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 19$ y $c = 25$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5

Simplifica.

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Paso 6.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.5.1.1

Eleva $- 19$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Paso 6.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.1.3

Resta $100$ de $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.1.4

Reescribe $261$ como $3^{2} \cdot 29$ .

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Paso 6.5.1.4.1

Factoriza $9$ de $261$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.1.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

Paso 6.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 6.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.6.1.1

Eleva $- 19$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Paso 6.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.3

Resta $100$ de $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.4

Reescribe $261$ como $3^{2} \cdot 29$ .

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Paso 6.6.1.4.1

Factoriza $9$ de $261$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

Paso 6.6.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

Paso 6.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 6.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.7.1.1

Eleva $- 19$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Paso 6.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.3

Resta $100$ de $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.4

Reescribe $261$ como $3^{2} \cdot 29$ .

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Paso 6.7.1.4.1

Factoriza $9$ de $261$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

Paso 6.7.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{19 - 3 \sqrt{29}}{2}$

Paso 6.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}, \frac{19 - 3 \sqrt{29}}{2}$

Paso 7

Excluye las soluciones que no hagan que $x - 5 - 3 \sqrt{x} = 0$ sea verdadera.

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

Forma decimal:

$x = 17.57774721 \dots$