Matemática discreta Ejemplos

$\sin^{2} (x) = 2 + 2 \cos (x)$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin^{2} (x) - 2 = 2 \cos (x)$

Paso 1.2

Resta $2 \cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

Paso 2

Reemplaza $\sin^{2} (x)$ con $1 - \cos^{2} (x)$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Resta $2$ de $1$ .

$- 1 - \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

Paso 3.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.2.1

Reordena los términos.

$- \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 3.2.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 \cos (x)$ .

$- \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 3.2.2.2

Reescribe $- 2$ como $- 1$ más $- 1$

$- \cos^{2} (x) + (- 1 - 1) \cos (x) - 1 = 0$

Paso 3.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) - 1 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) - 1 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 3.2.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\cos (x) (- \cos (x) - 1) + 1 (- \cos (x) - 1) = 0$

Paso 3.2.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- \cos (x) - 1$ .

$(- \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

Paso 3.4

Establece $- \cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $- \cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$- \cos (x) - 1 = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $- \cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- \cos (x) = 1$

Paso 3.4.2.2

Divide cada término en $- \cos (x) = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.2.1

Divide cada término en $- \cos (x) = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 3.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 3.4.2.2.2.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 1}$

Paso 3.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$\cos (x) = - 1$

Paso 3.4.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- 1)$

Paso 3.4.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $π$ .

$x = π$

Paso 3.4.2.5

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - π$

Paso 3.4.2.6

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Paso 3.4.2.7

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 3.4.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.4.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.4.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.4.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.4.2.8

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(- \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$