Matemática discreta Ejemplos

$\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) = \log_{7} (24)$

Paso 1

Resta $\log_{7} (24)$ de ambos lados de la ecuación.

$\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) - \log_{7} (24) = 0$

Paso 2

Simplifica $\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) - \log_{7} (24)$ .

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Paso 2.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} (x (x - 2)) - \log_{7} (24) = 0$

Paso 2.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{7} (\frac{x (x - 2)}{24}) = 0$

Paso 3

Reescribe $\log_{7} (\frac{x (x - 2)}{24}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$7^{0} = \frac{x (x - 2)}{24}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{x (x - 2)}{24} = 7^{0}$ .

$\frac{x (x - 2)}{24} = 7^{0}$

Paso 4.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $24$ .

$24 \frac{x (x - 2)}{24} = 24 \cdot 7^{0}$

Paso 4.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.1.1

Simplifica $24 \frac{x (x - 2)}{24}$ .

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Paso 4.3.1.1.1

Cancela el factor común de $24$ .

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Paso 4.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$24 \frac{x (x - 2)}{24} = 24 \cdot 7^{0}$

Paso 4.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x (x - 2) = 24 \cdot 7^{0}$

Paso 4.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 = 24 \cdot 7^{0}$

Paso 4.3.1.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1.1.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 = 24 \cdot 7^{0}$

Paso 4.3.1.1.3.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 2 x = 24 \cdot 7^{0}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica $24 \cdot 7^{0}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{2} - 2 x = 24 \cdot 1$

Paso 4.3.2.1.2

Multiplica $24$ por $1$ .

$x^{2} - 2 x = 24$

Paso 4.4

Resta $24$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x - 24 = 0$

Paso 4.5

Factoriza $x^{2} - 2 x - 24$ con el método AC.

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Paso 4.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 24$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 6, 4$

Paso 4.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 6) (x + 4) = 0$

Paso 4.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 4.7

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.7.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 4.7.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 4.8

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.8.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 4.8.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 4.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 6) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 6, - 4$