Matemática discreta Ejemplos

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} = \frac{6}{x^{2} - 36}$

Paso 1

Resta $\frac{6}{x^{2} - 36}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{6}{x^{2} - 36} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{6}{x^{2} - 36}$ .

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Paso 2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{6}{x^{2} - 6^{2}} = 0$

Paso 2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 6$ .

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{6}{x - 6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{6}{x - 6} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.3

Para escribir $- \frac{7}{x + 6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{6}{x - 6} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{7}{x + 6} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} - \frac{6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 6) (x + 6)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{6}{x - 6}$ por $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{6 (x + 6)}{(x - 6) (x + 6)} - \frac{7}{x + 6} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} - \frac{6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{7}{x + 6}$ por $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{6 (x + 6)}{(x - 6) (x + 6)} - \frac{7 (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $(x - 6) (x + 6)$ .

$\frac{6 (x + 6)}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{7 (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 (x + 6) - 7 (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 (x + 6) - 7 (x - 6) - 6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.7

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 x + 6 \cdot 6 - 7 (x - 6) - 6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.7.2

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{6 x + 36 - 7 (x - 6) - 6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 x + 36 - 7 x - 7 \cdot - 6 - 6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.7.4

Multiplica $- 7$ por $- 6$ .

$\frac{6 x + 36 - 7 x + 42 - 6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.8

Resta $7 x$ de $6 x$ .

$\frac{- x + 36 + 42 - 6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.9

Suma $36$ y $42$ .

$\frac{- x + 78 - 6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.10

Resta $6$ de $78$ .

$\frac{- x + 72}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.11

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) + 72}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.12

Reescribe $72$ como $- 1 (- 72)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 72)}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.13

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 72)$ .

$\frac{- (x - 72)}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.14

Reescribe $- (x - 72)$ como $- 1 (x - 72)$ .

$\frac{- 1 (x - 72)}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x - 72}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$x - 72 = 0$

Paso 4

Suma $72$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 72$