Matemática discreta Ejemplos

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} = \frac{6}{2^{2} - 36}$

Paso 1

Resta $\frac{6}{2^{2} - 36}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{6}{2^{2} - 36} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{6}{2^{2} - 36}$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{6}{4 - 36} = 0$

Paso 2.1.1.2

Resta $36$ de $4$ .

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{6}{- 32} = 0$

Paso 2.1.2

Cancela el factor común de $6$ y $- 32$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{2 (3)}{- 32} = 0$

Paso 2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 32$ .

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 16} = 0$

Paso 2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 16} = 0$

Paso 2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{3}{- 16} = 0$

Paso 2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - - \frac{3}{16} = 0$

Paso 2.1.4

Multiplica $- - \frac{3}{16}$ .

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Paso 2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} + 1 (\frac{3}{16}) = 0$

Paso 2.1.4.2

Multiplica $\frac{3}{16}$ por $1$ .

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} + \frac{3}{16} = 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{6}{x - 6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{6}{x - 6} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{7}{x + 6} + \frac{3}{16} = 0$

Paso 2.3

Para escribir $- \frac{7}{x + 6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{6}{x - 6} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{7}{x + 6} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} + \frac{3}{16} = 0$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 6) (x + 6)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{6}{x - 6}$ por $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{6 (x + 6)}{(x - 6) (x + 6)} - \frac{7}{x + 6} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} + \frac{3}{16} = 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{7}{x + 6}$ por $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{6 (x + 6)}{(x - 6) (x + 6)} - \frac{7 (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $(x - 6) (x + 6)$ .

$\frac{6 (x + 6)}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{7 (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 (x + 6) - 7 (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 x + 6 \cdot 6 - 7 (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Paso 2.6.2

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{6 x + 36 - 7 (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Paso 2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 x + 36 - 7 x - 7 \cdot - 6}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Paso 2.6.4

Multiplica $- 7$ por $- 6$ .

$\frac{6 x + 36 - 7 x + 42}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Paso 2.6.5

Resta $7 x$ de $6 x$ .

$\frac{- x + 36 + 42}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Paso 2.6.6

Suma $36$ y $42$ .

$\frac{- x + 78}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Paso 2.7

Para escribir $\frac{- x + 78}{(x + 6) (x - 6)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$\frac{- x + 78}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{16}{16} + \frac{3}{16} = 0$

Paso 2.8

Para escribir $\frac{3}{16}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ .

$\frac{- x + 78}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{16}{16} + \frac{3}{16} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.9

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 6) (x - 6) \cdot 16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.9.1

Multiplica $\frac{- x + 78}{(x + 6) (x - 6)}$ por $\frac{16}{16}$ .

$\frac{(- x + 78) \cdot 16}{(x + 6) (x - 6) \cdot 16} + \frac{3}{16} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.9.2

Multiplica $\frac{3}{16}$ por $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ .

$\frac{(- x + 78) \cdot 16}{(x + 6) (x - 6) \cdot 16} + \frac{3 ((x + 6) (x - 6))}{16 ((x + 6) (x - 6))} = 0$

Paso 2.9.3

Reordena los factores de $(x + 6) (x - 6) \cdot 16$ .

$\frac{(- x + 78) \cdot 16}{16 (x + 6) (x - 6)} + \frac{3 ((x + 6) (x - 6))}{16 ((x + 6) (x - 6))} = 0$

Paso 2.9.4

Reordena los factores de $16 ((x + 6) (x - 6))$ .

$\frac{(- x + 78) \cdot 16}{16 (x + 6) (x - 6)} + \frac{3 ((x + 6) (x - 6))}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(- x + 78) \cdot 16 + 3 ((x + 6) (x - 6))}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x \cdot 16 + 78 \cdot 16 + 3 (x + 6) (x - 6)}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.11.2

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$\frac{- 16 x + 78 \cdot 16 + 3 (x + 6) (x - 6)}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.11.3

Multiplica $78$ por $16$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 (x + 6) (x - 6)}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.11.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 16 x + 1248 + (3 x + 3 \cdot 6) (x - 6)}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.11.5

Multiplica $3$ por $6$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + (3 x + 18) (x - 6)}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.11.6

Expande $(3 x + 18) (x - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.11.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x (x - 6) + 18 (x - 6)}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.11.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 6 + 18 (x - 6)}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.11.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 6 + 18 x + 18 \cdot - 6}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.11.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.11.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.11.7.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 6 + 18 x + 18 \cdot - 6}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.11.7.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x^{2} + 3 x \cdot - 6 + 18 x + 18 \cdot - 6}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.11.7.1.2

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x^{2} - 18 x + 18 x + 18 \cdot - 6}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.11.7.1.3

Multiplica $18$ por $- 6$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x^{2} - 18 x + 18 x - 108}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.11.7.2

Suma $- 18 x$ y $18 x$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x^{2} + 0 - 108}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.11.7.3

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x^{2} - 108}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.11.8

Resta $108$ de $1248$ .

$\frac{- 16 x + 3 x^{2} + 1140}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 2.11.9

Reordena los términos.

$\frac{3 x^{2} - 16 x + 1140}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$3 x^{2} - 16 x + 1140 = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.2

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 16$ y $c = 1140$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1140)}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot 1140}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 1140$ .

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Paso 4.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot 1140}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $1140$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 13680}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3.1.3

Resta $13680$ de $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 13424}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3.1.4

Reescribe $- 13424$ como $- 1 (13424)$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 13424}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (13424)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{13424}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{13424}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{13424}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3.1.7

Reescribe $13424$ como $4^{2} \cdot 839$ .

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Paso 4.3.1.7.1

Factoriza $16$ de $13424$ .

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{16 (839)}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 839}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{16 \pm i \cdot (4 \sqrt{839})}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{6}$

Paso 4.3.3

Simplifica $\frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{839}}{3}$

Paso 4.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 4.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot 1140}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 1140$ .

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Paso 4.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot 1140}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.4.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $1140$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 13680}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.4.1.3

Resta $13680$ de $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 13424}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.4.1.4

Reescribe $- 13424$ como $- 1 (13424)$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 13424}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (13424)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{13424}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{13424}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{13424}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.4.1.7

Reescribe $13424$ como $4^{2} \cdot 839$ .

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Paso 4.4.1.7.1

Factoriza $16$ de $13424$ .

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{16 (839)}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.4.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 839}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{16 \pm i \cdot (4 \sqrt{839})}{2 \cdot 3}$

Paso 4.4.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{6}$

Paso 4.4.3

Simplifica $\frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{839}}{3}$

Paso 4.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{8 + 2 i \sqrt{839}}{3}$

Paso 4.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 4.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot 1140}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 1140$ .

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Paso 4.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot 1140}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.5.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $1140$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 13680}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.5.1.3

Resta $13680$ de $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 13424}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.5.1.4

Reescribe $- 13424$ como $- 1 (13424)$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 13424}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (13424)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{13424}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{13424}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{13424}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.5.1.7

Reescribe $13424$ como $4^{2} \cdot 839$ .

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Paso 4.5.1.7.1

Factoriza $16$ de $13424$ .

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{16 (839)}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.5.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 839}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{16 \pm i \cdot (4 \sqrt{839})}{2 \cdot 3}$

Paso 4.5.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{6}$

Paso 4.5.3

Simplifica $\frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{839}}{3}$

Paso 4.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{8 - 2 i \sqrt{839}}{3}$

Paso 4.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{8 + 2 i \sqrt{839}}{3}, \frac{8 - 2 i \sqrt{839}}{3}$