Matemática discreta Ejemplos

$\frac{4 x \sqrt{x^{3} - 1} - (\frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}})}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{4 x \sqrt{x^{3} - 1^{3}} - (\frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}})}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})} - (\frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}})}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})} - (\frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}})}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - (\frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}})}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1^{3}}}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 4.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 5

Multiplica $\frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}$ por $\frac{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}$ .

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - (\frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}})}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}$ por $\frac{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}$ .

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 6.2

Eleva $\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 6.3

Eleva $\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}^{1 + 1}}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2}}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 6.6

Reescribe ${\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2}$ como $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

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Paso 6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ como ${((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{({((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{2}{2}}}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{2}{2}}}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 6.6.5

Simplifica.

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 7

Para escribir $4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 8

Combina $4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ y $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

$\frac{\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) - 3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 10

Reescribe $\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) - 3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ en forma factorizada.

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Paso 10.1

Factoriza $x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ de $4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) - 3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

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Paso 10.1.1

Factoriza $x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ de $4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))) - 3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 10.1.2

Factoriza $x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ de $- 3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))) + x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (- 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 10.1.3

Factoriza $x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ de $x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))) + x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (- 3 x^{3})$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 10.2

Expande $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 10.3

Combina los términos opuestos en $x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Paso 10.3.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot 1$ y $- 1 x$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 10.3.2

Resta $1 x$ de $1 x$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 10.3.3

Suma $x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 10.4

Simplifica cada término.

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Paso 10.4.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.4.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 10.4.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 10.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 10.4.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 10.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 10.4.3

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 10.4.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 10.5

Combina los términos opuestos en $x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ .

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Paso 10.5.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} + 0 - 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 10.5.2

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} - 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 10.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 x^{3} + 4 \cdot - 1 - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 10.7

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 x^{3} - 4 - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 10.8

Resta $3 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 11

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{x^{3} - 1^{3}} = 0$

Paso 12

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})} = 0$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})} = 0$

Paso 13.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 14

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} \cdot \frac{1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 15

Combinar.

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (x^{3} - 4) \cdot 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x - 1) (x^{2} + x + 1))} = 0$

Paso 16

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x - 1) (x^{2} + x + 1))} = 0$

Paso 17

Simplifica el denominador.

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Paso 17.1

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 17.2

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 17.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (x^{3} - 4)}{{(x - 1)}^{1 + 1} (x^{2} + x + 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 17.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (x^{3} - 4)}{{(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 17.5

Eleva $x^{2} + x + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (x^{3} - 4)}{{(x - 1)}^{2} ((x^{2} + x + 1) (x^{2} + x + 1))} = 0$

Paso 17.6

Eleva $x^{2} + x + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (x^{3} - 4)}{{(x - 1)}^{2} ((x^{2} + x + 1) (x^{2} + x + 1))} = 0$

Paso 17.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (x^{3} - 4)}{{(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{1 + 1}} = 0$

Paso 17.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (x^{3} - 4)}{{(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} = 0$

Paso 18

Establece el numerador igual a cero.

$x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (x^{3} - 4) = 0$

Paso 19

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 19.1

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 19.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} x^{3} + x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} \cdot - 4 = 0$

Paso 19.1.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 19.1.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$x^{3} x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} + x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} \cdot - 4 = 0$

Paso 19.1.2.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 19.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{3} x^{1} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} + x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} \cdot - 4 = 0$

Paso 19.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{3 + 1} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} + x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} \cdot - 4 = 0$

Paso 19.1.2.3

Suma $3$ y $1$ .

$x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} + x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} \cdot - 4 = 0$

Paso 19.1.3

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

$x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - 4 \cdot (x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}) = 0$

Paso 19.1.4

Elimina los paréntesis.

$x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - 4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 19.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 19.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ como ${((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{4} {((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}} - 4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 19.2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ como ${((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{4} {((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}} - 4 x {((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.3.1

Expande $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x^{4} {(x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.2

Combina los términos opuestos en $x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.3.2.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot 1$ y $- 1 x$ .

$x^{4} {(x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.2.2

Resta $1 x$ de $1 x$ .

$x^{4} {(x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.2.3

Suma $x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ y $0$ .

$x^{4} {(x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.3.3.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.3.3.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} {(x^{1} x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} {(x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.3.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$x^{4} {(x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{4} {(x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.3.3

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$x^{4} {(x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{4} {(x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.4

Combina los términos opuestos en $x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.3.4.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$x^{4} {(x^{3} + 0 - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.4.2

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.5

Expande $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.6

Combina los términos opuestos en $x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.3.6.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot 1$ y $- 1 x$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.6.2

Resta $1 x$ de $1 x$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.6.3

Suma $x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ y $0$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.7

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.3.7.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.3.7.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.3.7.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{1} x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.7.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.7.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.7.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.7.3

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.7.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.8

Combina los términos opuestos en $x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.3.8.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} + 0 - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.3.8.2

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.4

Factoriza $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 19.4.1

Factoriza $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3}) - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.4.2

Factoriza $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $- 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3}) + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4) = 0$

Paso 19.4.3

Factoriza $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3}) + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4)$ .

$x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4) = 0$

Paso 19.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

${(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

$x^{3} - 4 = 0$

Paso 19.6

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 19.7

Establece ${(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.7.1

Establece ${(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ igual a $0$ .

${(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 19.7.2

Resuelve ${(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.7.2.1

Establece $x^{3} - 1$ igual a $0$ .

$x^{3} - 1 = 0$

Paso 19.7.2.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 19.7.2.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = 1$

Paso 19.7.2.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - 1 = 0$

Paso 19.7.2.2.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.7.2.2.3.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$x^{3} - 1^{3} = 0$

Paso 19.7.2.2.3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 19.7.2.2.3.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.7.2.2.3.3.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

Paso 19.7.2.2.3.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Paso 19.7.2.2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Paso 19.7.2.2.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.7.2.2.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 19.7.2.2.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 19.7.2.2.6

Establece $x^{2} + x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.7.2.2.6.1

Establece $x^{2} + x + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Paso 19.7.2.2.6.2

Resuelve $x^{2} + x + 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.7.2.2.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 19.7.2.2.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 19.7.2.2.6.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.7.2.2.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.7.2.2.6.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 19.7.2.2.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.7.2.2.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 19.7.2.2.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 19.7.2.2.6.2.3.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 19.7.2.2.6.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 19.7.2.2.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 19.7.2.2.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 19.7.2.2.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 19.7.2.2.6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.7.2.2.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.7.2.2.6.2.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 19.7.2.2.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.7.2.2.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 19.7.2.2.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 19.7.2.2.6.2.4.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 19.7.2.2.6.2.4.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 19.7.2.2.6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 19.7.2.2.6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 19.7.2.2.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 19.7.2.2.6.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 19.7.2.2.6.2.4.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 19.7.2.2.6.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Paso 19.7.2.2.6.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Paso 19.7.2.2.6.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 19.7.2.2.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 19.7.2.2.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 19.7.2.2.6.2.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 19.7.2.2.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 19.7.2.2.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 19.7.2.2.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 19.7.2.2.6.2.5.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 19.7.2.2.6.2.5.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 19.7.2.2.6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 19.7.2.2.6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 19.7.2.2.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 19.7.2.2.6.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 19.7.2.2.6.2.5.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 19.7.2.2.6.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Paso 19.7.2.2.6.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Paso 19.7.2.2.6.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 19.7.2.2.6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 19.7.2.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 19.8

Establece $x^{3} - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 19.8.1

Establece $x^{3} - 4$ igual a $0$ .

$x^{3} - 4 = 0$

Paso 19.8.2

Resuelve $x^{3} - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 19.8.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = 4$

Paso 19.8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{4}$

Paso 19.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \sqrt[3]{4}$