Matemática discreta Ejemplos

$\frac{3 x - 17}{x - 4} = \frac{7 x - 7}{28}$

Paso 1

Resta $\frac{7 x - 7}{28}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{7 x - 7}{28} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{7 x - 7}{28}$ .

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $7 x - 7$ y $28$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{7 (x) - 7}{28} = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $7$ de $- 7$ .

$\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{7 (x) + 7 (- 1)}{28} = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $7$ de $7 (x) + 7 (- 1)$ .

$\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{7 (x - 1)}{28} = 0$

Paso 2.1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.4.1

Factoriza $7$ de $28$ .

$\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{7 (x - 1)}{7 (4)} = 0$

Paso 2.1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{7 (x - 1)}{7 \cdot 4} = 0$

Paso 2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{x - 1}{4} = 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{3 x - 17}{x - 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x - 17}{x - 4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x - 1}{4} = 0$

Paso 2.3

Para escribir $- \frac{x - 1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{3 x - 17}{x - 4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x - 1}{4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} = 0$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 4) \cdot 4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{3 x - 17}{x - 4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{(3 x - 17) \cdot 4}{(x - 4) \cdot 4} - \frac{x - 1}{4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} = 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{x - 1}{4}$ por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{(3 x - 17) \cdot 4}{(x - 4) \cdot 4} - \frac{(x - 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $(x - 4) \cdot 4$ .

$\frac{(3 x - 17) \cdot 4}{4 (x - 4)} - \frac{(x - 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(3 x - 17) \cdot 4 - (x - 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x \cdot 4 - 17 \cdot 4 - (x - 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{12 x - 17 \cdot 4 - (x - 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6.3

Multiplica $- 17$ por $4$ .

$\frac{12 x - 68 - (x - 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 x - 68 + (- x - - 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{12 x - 68 + (- x + 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6.6

Expande $(- x + 1) (x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.6.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 x - 68 - x (x - 4) + 1 (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 x - 68 - x \cdot x - x \cdot - 4 + 1 (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 x - 68 - x \cdot x - x \cdot - 4 + 1 x + 1 \cdot - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.6.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.7.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{12 x - 68 - (x \cdot x) - x \cdot - 4 + 1 x + 1 \cdot - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6.7.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{12 x - 68 - x^{2} - x \cdot - 4 + 1 x + 1 \cdot - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6.7.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{12 x - 68 - x^{2} + 4 x + 1 x + 1 \cdot - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6.7.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{12 x - 68 - x^{2} + 4 x + x + 1 \cdot - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6.7.1.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{12 x - 68 - x^{2} + 4 x + x - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6.7.2

Suma $4 x$ y $x$ .

$\frac{12 x - 68 - x^{2} + 5 x - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6.8

Suma $12 x$ y $5 x$ .

$\frac{17 x - 68 - x^{2} - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6.9

Resta $4$ de $- 68$ .

$\frac{17 x - x^{2} - 72}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6.10

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} + 17 x - 72}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6.11

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.6.11.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 72 = 72$ y cuya suma es $b = 17$ .

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Paso 2.6.11.1.1

Factoriza $17$ de $17 x$ .

$\frac{- x^{2} + 17 (x) - 72}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6.11.1.2

Reescribe $17$ como $8$ más $9$

$\frac{- x^{2} + (8 + 9) x - 72}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6.11.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} + 8 x + 9 x - 72}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6.11.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.6.11.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- x^{2} + 8 x) + 9 x - 72}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6.11.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- x + 8) - 9 (- x + 8)}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.6.11.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 8$ .

$\frac{(- x + 8) (x - 9)}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.7

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) + 8) (x - 9)}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.8

Reescribe $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 8)) (x - 9)}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.9

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{- (x - 8) (x - 9)}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.10

Reescribe $- (x - 8)$ como $- 1 (x - 8)$ .

$\frac{- 1 (x - 8) (x - 9)}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(x - 8) (x - 9)}{4 (x - 4)} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$(x - 8) (x - 9) = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 9 = 0$

Paso 4.2

Establece $x - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.1

Establece $x - 8$ igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Paso 4.2.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8$

Paso 4.3

Establece $x - 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.1

Establece $x - 9$ igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Paso 4.3.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9$

Paso 4.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 8) (x - 9) = 0$ verdadera.

$x = 8, 9$