Matemática discreta Ejemplos

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{x + 2}{2 x} = 2$

Paso 1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{x + 2}{2 x} - 2 = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{2 x}{x + 2} + \frac{x + 2}{2 x} - 2$ .

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{2 x}{x + 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{2 x}{x + 2} \cdot \frac{2 x}{2 x} + \frac{x + 2}{2 x} - 2 = 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{x + 2}{2 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 x}{x + 2} \cdot \frac{2 x}{2 x} + \frac{x + 2}{2 x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - 2 = 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 2) \cdot 2 x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{2 x}{x + 2}$ por $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{2 x (2 x)}{(x + 2) (2 x)} + \frac{x + 2}{2 x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - 2 = 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{x + 2}{2 x}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 x (2 x)}{(x + 2) (2 x)} + \frac{(x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(x + 2) (2 x)$ .

$\frac{2 x (2 x)}{2 x (x + 2)} + \frac{(x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x (2 x) + (x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + (x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Paso 2.5.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + (x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Paso 2.5.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} + (x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Paso 2.5.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 x^{2} + (x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Paso 2.5.4

Expande $(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.5.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} + x (x + 2) + 2 (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Paso 2.5.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} + x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Paso 2.5.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} + x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Paso 2.5.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.5.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Paso 2.5.5.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Paso 2.5.5.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} + 2 x + 2 x + 4}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Paso 2.5.5.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} + 4 x + 4}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Paso 2.5.6

Suma $4 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Paso 2.6

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x (x + 2)}{2 x (x + 2)}$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4}{2 x (x + 2)} - 2 \cdot \frac{2 x (x + 2)}{2 x (x + 2)} = 0$

Paso 2.7

Combina $- 2$ y $\frac{2 x (x + 2)}{2 x (x + 2)}$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4}{2 x (x + 2)} + \frac{- 2 (2 x (x + 2))}{2 x (x + 2)} = 0$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 2 (2 x (x + 2))}{2 x (x + 2)} = 0$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 4 x (x + 2)}{2 x (x + 2)} = 0$

Paso 2.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 2}{2 x (x + 2)} = 0$

Paso 2.9.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.9.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 2}{2 x (x + 2)} = 0$

Paso 2.9.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 4 x^{2} - 4 x \cdot 2}{2 x (x + 2)} = 0$

Paso 2.9.4

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 4 x^{2} - 8 x}{2 x (x + 2)} = 0$

Paso 2.9.5

Resta $4 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 4 - 8 x}{2 x (x + 2)} = 0$

Paso 2.9.6

Resta $8 x$ de $4 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{2 x (x + 2)} = 0$

Paso 2.9.7

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.9.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 2^{2}}{2 x (x + 2)} = 0$

Paso 2.9.7.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 2.9.7.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}{2 x (x + 2)} = 0$

Paso 2.9.7.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{2 x (x + 2)} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$