Matemática discreta Ejemplos

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} = 1$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

Paso 2.1.1.2

Divide $2$ por $1$ .

$2 + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

Paso 2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 + \frac{x + 3}{x^{2} - 1^{2}} - 1 = 0$

Paso 2.1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$2 + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$2 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.3

Combina $2$ y $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{2 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 ((x + 1) (x - 1)) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(2 x + 2) (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5.3

Expande $(2 x + 2) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x (x - 1) + 2 (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.5.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5.4.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5.4.2

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 0 - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5.4.3

Suma $2 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5.5

Suma $- 2$ y $3$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} - 1 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.7

Combina $- 1$ y $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 + (- x - 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.3

Expande $(- x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.9.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x (x - 1) - 1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.9.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.9.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.9.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.4.1.2

Multiplica $- x \cdot - 1$ .

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Paso 2.9.4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.4.1.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.4.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - x + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.4.2

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 0 + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.4.3

Suma $- x^{2}$ y $0$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.5

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + x + 1 + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$x^{2} + x + 2 = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 4.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.3

Resta $8$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.4

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Paso 4.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 4.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 4.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.3

Resta $8$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.4

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Paso 4.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2}$

Paso 4.4.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{7}}{2}$

Paso 4.4.5

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{7})}{2}$

Paso 4.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{7})}{2}$

Paso 4.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Paso 4.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 4.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 4.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.3

Resta $8$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.4

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Paso 4.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2}$

Paso 4.5.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{7}}{2}$

Paso 4.5.5

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{7})}{2}$

Paso 4.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{7})}{2}$

Paso 4.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

Paso 4.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$