Matemática discreta Ejemplos

\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} = 1

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} = 1$

Paso 1

Resta

$1$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

Paso 2

Simplifica

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de

$x$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

Paso 2.1.1.2

Divide

$2$ por

$1$ .

$2 + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

Paso 2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe

$1$ como

$1^{2}$ .

$2 + \frac{x + 3}{x^{2} - 1^{2}} - 1 = 0$

Paso 2.1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde

$a = x$ y

$b = 1$ .

$2 + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.2

Para escribir

$2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$2 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.3

Combina

$2$ y

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{2 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 ((x + 1) (x - 1)) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5.2

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$\frac{(2 x + 2) (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5.3

Expande

$(2 x + 2) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x (x - 1) + 2 (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.5.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.4.1.1

Multiplica

$x$ por

$x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.4.1.1.1

Mueve

$x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5.4.1.1.2

Multiplica

$x$ por

$x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5.4.1.2

Multiplica

$- 1$ por

$2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5.4.1.3

Multiplica

$2$ por

$- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5.4.2

Suma

$- 2 x$ y

$2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 0 - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5.4.3

Suma

$2 x^{2}$ y

$0$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.5.5

Suma

$- 2$ y

$3$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Paso 2.6

Para escribir

$- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} - 1 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.7

Combina

$- 1$ y

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.2

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 + (- x - 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.3

Expande

$(- x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.9.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x (x - 1) - 1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.9.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.9.4.1.1

Multiplica

$x$ por

$x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.9.4.1.1.1

Mueve

$x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.4.1.1.2

Multiplica

$x$ por

$x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.4.1.2

Multiplica

$- x \cdot - 1$ .

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Paso 2.9.4.1.2.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.4.1.2.2

Multiplica

$x$ por

$1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.4.1.3

Reescribe

$- 1 x$ como

$- x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.4.1.4

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - x + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.4.2

Resta

$x$ de

$x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 0 + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.4.3

Suma

$- x^{2}$ y

$0$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.5

Resta

$x^{2}$ de

$2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + x + 1 + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 2.9.6

Suma

$1$ y

$1$ .

$\frac{x^{2} + x + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$x^{2} + x + 2 = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en

$x$ .

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Paso 4.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.2

Sustituye los valores

$a = 1$ ,

$b = 1$ y

$c = 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve

$x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 4.3.1.2.1

Multiplica

$- 4$ por

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.2.2

Multiplica

$- 4$ por

$2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.3

Resta

$8$ de

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.4

Reescribe

$- 7$ como

$- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.5

Reescribe

$\sqrt{- 1 (7)}$ como

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.6

Reescribe

$\sqrt{- 1}$ como

$i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.2

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Paso 4.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte

$+$ de

$\pm$ .

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Paso 4.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.2

Multiplica

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 4.4.1.2.1

Multiplica

$- 4$ por

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.2.2

Multiplica

$- 4$ por

$2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.3

Resta

$8$ de

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.4

Reescribe

$- 7$ como

$- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.5

Reescribe

$\sqrt{- 1 (7)}$ como

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.6

Reescribe

$\sqrt{- 1}$ como

$i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.2

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Paso 4.4.3

Cambia

$\pm$ a

$+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2}$

Paso 4.4.4

Reescribe

$- 1$ como

$- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{7}}{2}$

Paso 4.4.5

Factoriza

$- 1$ de

$i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{7})}{2}$

Paso 4.4.6

Factoriza

$- 1$ de

$- 1 (1) - (- i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{7})}{2}$

Paso 4.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Paso 4.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte

$-$ de

$\pm$ .

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Paso 4.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.2

Multiplica

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1.2.1

Multiplica

$- 4$ por

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.2.2

Multiplica

$- 4$ por

$2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.3

Resta

$8$ de

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.4

Reescribe

$- 7$ como

$- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.5

Reescribe

$\sqrt{- 1 (7)}$ como

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.6

Reescribe

$\sqrt{- 1}$ como

$i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Paso 4.5.3

Cambia

$\pm$ a

$-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2}$

Paso 4.5.4

Reescribe

$- 1$ como

$- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{7}}{2}$

Paso 4.5.5

Factoriza

$- 1$ de

$- i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{7})}{2}$

Paso 4.5.6

Factoriza

$- 1$ de

$- 1 (1) - (i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{7})}{2}$

Paso 4.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

Paso 4.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$