Matemática discreta Ejemplos

$2^{2 x} - 2^{x + 2} - 12 = 0$

Paso 1

Reordena los términos.

$2^{2 x} - 12 - 2^{x + 2} = 0$

Paso 2

Reescribe $2^{x + 2}$ como $2^{x} \cdot 2^{2}$ .

$2^{2 x} - 12 - (2^{x} \cdot 2^{2}) = 0$

Paso 3

Reescribe $2^{2 x}$ como exponenciación.

${(2^{x})}^{2} - 12 - (2^{x} \cdot 2^{2}) = 0$

Paso 4

Elimina los paréntesis.

${(2^{x})}^{2} - 12 - 2^{x} \cdot 2^{2} = 0$

Paso 5

Sustituye $u$ por $2^{x}$ .

$u^{2} - 12 - u \cdot 2^{2} = 0$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u^{2} - 12 - u \cdot 4 = 0$

Paso 6.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$u^{2} - 12 - 4 u = 0$

Paso 7

Mueve $- 12$ .

$u^{2} - 4 u - 12 = 0$

Paso 8

Resuelve $u$

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Paso 8.1

Factoriza $u^{2} - 4 u - 12$ con el método AC.

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Paso 8.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 6, 2$

Paso 8.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 6) (u + 2) = 0$

Paso 8.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 6 = 0$

$u + 2 = 0$

Paso 8.3

Establece $u - 6$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 8.3.1

Establece $u - 6$ igual a $0$ .

$u - 6 = 0$

Paso 8.3.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 6$

Paso 8.4

Establece $u + 2$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 8.4.1

Establece $u + 2$ igual a $0$ .

$u + 2 = 0$

Paso 8.4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 2$

Paso 8.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 6) (u + 2) = 0$ verdadera.

$u = 6, - 2$

Paso 9

Sustituye $6$ por $u$ en $u = 2^{x}$ .

$6 = 2^{x}$

Paso 10

Resuelve $6 = 2^{x}$ .

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $2^{x} = 6$ .

$2^{x} = 6$

Paso 10.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{x}) = \ln (6)$

Paso 10.3

Expande $\ln (2^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (6)$

Paso 10.4

Divide cada término en $x \ln (2) = \ln (6)$ por $\ln (2)$ y simplifica.

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Paso 10.4.1

Divide cada término en $x \ln (2) = \ln (6)$ por $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

Paso 10.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 10.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

Paso 10.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

Paso 11

Sustituye $- 2$ por $u$ en $u = 2^{x}$ .

$- 2 = 2^{x}$

Paso 12

Resuelve $- 2 = 2^{x}$ .

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Paso 12.1

Reescribe la ecuación como $2^{x} = - 2$ .

$2^{x} = - 2$

Paso 12.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 2)$

Paso 12.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- 2)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 12.4

No hay soluciones para $2^{x} = - 2$

No hay solución

Paso 13

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$