Matemática discreta Ejemplos

$\frac{x^{2}}{2} + 4 x + 10 = 0$

Paso 1

Para escribir $4 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + 4 x \cdot \frac{2}{2} + 10 = 0$

Paso 2

Combina $4 x$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{4 x \cdot 2}{2} + 10 = 0$

Paso 3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} + 4 x \cdot 2}{2} + 10 = 0$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Factoriza $x$ de $x^{2} + 4 x \cdot 2$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 4 x \cdot 2}{2} + 10 = 0$

Paso 4.1.2

Factoriza $x$ de $4 x \cdot 2$ .

$\frac{x \cdot x + x (4 \cdot 2)}{2} + 10 = 0$

Paso 4.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x (4 \cdot 2)$ .

$\frac{x (x + 4 \cdot 2)}{2} + 10 = 0$

Paso 4.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{x (x + 8)}{2} + 10 = 0$

Paso 5

Para escribir $10$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (x + 8)}{2} + 10 \cdot \frac{2}{2} = 0$

Paso 6

Combina $10$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (x + 8)}{2} + \frac{10 \cdot 2}{2} = 0$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (x + 8) + 10 \cdot 2}{2} = 0$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 8 + 10 \cdot 2}{2} = 0$

Paso 8.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 8 + 10 \cdot 2}{2} = 0$

Paso 8.3

Mueve $8$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 10 \cdot 2}{2} = 0$

Paso 8.4

Multiplica $10$ por $2$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 20}{2} = 0$

Paso 9

Establece el numerador igual a cero.

$x^{2} + 8 x + 20 = 0$

Paso 10

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 10.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 10.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 8$ y $c = 20$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.3

Simplifica.

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Paso 10.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Paso 10.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $20$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 80}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.3.1.3

Resta $80$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.3.1.4

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.3.1.7

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.3.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 10.3.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Paso 10.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2}$

Paso 10.3.3

Simplifica $\frac{- 8 \pm 4 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm 2 i$

Paso 10.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 10.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Paso 10.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $20$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 80}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.4.1.3

Resta $80$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.4.1.4

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.4.1.7

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.4.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 10.4.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Paso 10.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2}$

Paso 10.4.3

Simplifica $\frac{- 8 \pm 4 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm 2 i$

Paso 10.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - 4 + 2 i$

Paso 10.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 10.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.5.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Paso 10.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $20$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 80}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.5.1.3

Resta $80$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.5.1.4

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.5.1.7

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.5.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 10.5.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Paso 10.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2}$

Paso 10.5.3

Simplifica $\frac{- 8 \pm 4 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm 2 i$

Paso 10.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - 4 - 2 i$

Paso 10.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 4 + 2 i, - 4 - 2 i$